在常微分方程中,为什么非齐次线性方程的通解要由非齐次的特解和对应的齐次方程的通解组成?本质是什么?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 20:33:56
在常微分方程中,为什么非齐次线性方程的通解要由非齐次的特解和对应的齐次方程的通解组成?本质是什么?
在常微分方程中,为什么非齐次线性方程的通解要由非齐次的特解和对应的齐次方程的通解组成?本质是什么?
在常微分方程中,为什么非齐次线性方程的通解要由非齐次的特解和对应的齐次方程的通解组成?本质是什么?
二阶线性齐次方程的一般形式为：y''+a1y'+a2y=0,其中a1,a2为实常数.
我们知道指数函数e^(ax)求导后仍为指数函数.利用这个性质,可适当的选择常数ρ,使e^(ax)满足方程上面的方程.我们可令：y=e^(ax),代入上面的方程得：
e^(ax)( ρ^2+a1ρ+a2)=0
因为e^(ax)≠0,所以：
ρ^2+a1ρ+a2=0
这样,对于上面二次方程的每个根ρ,e^(ax)就是方程y''+a1y'+a2y=0的一个解.方程ρ^2+a1ρ+a2=0就被称为方程的特征方程.根据这个代数方程的根的不同性质,我们分三种不同的情况来讨论：
1.特征方程有两个不等的实根的情形
设此两实根为ρ1,ρ2(ρ1≠ρ2).于是e^(ρ1x),e^(ρ2x)是齐次方程y''+a1y'+a2y=0的两个特解,由于它们之比不等于常数,所以它们线性独立,因此,方程的通解为：
y=c1e^(ρ1x),e^(ρ2x) 其中c1,c2为实常数.
2.特征方程有重根的情形
此时特征方程的重根应为：ρ1=-a1/2,于是只能得到y''+a1y'+a2y=0的一个特y1=e^(ρ1x),我们可根据常数变易法再求其另一个特解为：y=xe^(ρ1x).于是方程的通解为:
y=e^(ρ1x)(C1+C2x)
3.特征方程有共轭复根的情形
设共轭复根为ρ1=α+iβ,ρ2=α-iβ,那末y=e^(ρ1x),y=e^(ρ2x).是方程的两个线性独立的解,但是这种复数形式的解使用不方便,为了得到实数形式的解,利用欧拉公式：e^(ix)=cosx+isinx,为此可以得到方程y''+a1y'+a2y=0的通
y=e^(αx)(C1cosβx+C2sinβx)
由上面可知,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤为：
1.对照方程y''+a1y'+a2y=0写出其特征方程：ρ^2+a1ρ+a2=0；
2.求出特征方程的两个根：ρ1,ρ2
3.根据ρ1,ρ2是不同实根,相同实根,共轭复根,分别利用上面的公式写出原方程的通解.
参考高等代数中线性方程组的证明
骚比
实际的理论上的本质有可能对刚学微分的困难理解，我就说下运算方面的本质：
光非齐次的特解不全，为了给出全部解，要加上齐次的通解。
因为齐次的解带进去会使齐次那边得到0，0 + 非齐次的=非齐次，不影响结果，但做到更全面。
比如举个简单例子y'=x
y'=0的解是常数C
y'=x的特解是x^2/2,
因为C带进y'是0，这样[C+（x^2/2）]'=0...
全部展开
实际的理论上的本质有可能对刚学微分的困难理解，我就说下运算方面的本质：
光非齐次的特解不全，为了给出全部解，要加上齐次的通解。
因为齐次的解带进去会使齐次那边得到0，0 + 非齐次的=非齐次，不影响结果，但做到更全面。
比如举个简单例子y'=x
y'=0的解是常数C
y'=x的特解是x^2/2,
因为C带进y'是0，这样[C+（x^2/2）]'=0+（x^2/2）'=（x^2/2）'
得到跟非齐次一样的结果，但是开始的C+（x^2/2）更全
收起
本质是齐次的解空间是n维线性空间。
问题可以转化成线性空间的研究。