已知数列AN的前N项和SN=A1+A2+A3+…… +AN满足AN+2SNSN-1=0(N大于等于2)a1=1/2.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 00:14:26
已知数列AN的前N项和SN=A1+A2+A3+…… +AN满足AN+2SNSN-1=0(N大于等于2)a1=1/2.
已知数列AN的前N项和SN=A1+A2+A3+…… +AN满足AN+2SNSN-1=0(N大于等于2)a1=1/2.
已知数列AN的前N项和SN=A1+A2+A3+…… +AN满足AN+2SNSN-1=0(N大于等于2)a1=1/2.
an+2Sn•S(n-1)=0(n≥2),Sn-S(n-1)=an
所以Sn-S(n-1)=-2SnS(n-1)
讨论两边能不能直接除以SnS(n-1)：
假若某个Sn=0,则an=Sn-S(n-1)=-S(n-1),则0=an+2SnS(n-1)=-S(n-1)+0
所以S(n-1)=0,一步步递推能推出S1=0,这与已知条件不符,所以每一个Sn都不等于0
所以两边同时除以SnS(n-1),
得到1/Sn-1/S(n-1)=2,1/S1=1/a1=2
所以{1/Sn}是等差数列
算出其通项为1/Sn=1/S1+2(n-1)=2n
然后Sn=1/(2n),
当n≥2时,an=Sn-S(n-1)=1/(2n)-1/(2n-2)
当n=1时,an=1/2.
0=a(n+1)+2s(n+1)s(n)=s(n+1)-s(n)+2s(n+1)s(n),
1/2=a(1)=s(1)>0, s(n+1)=s(n)[1-2s(n+1)],
若s(n+1)=0, 则s(n)=0, ..., s(1)=0, 与s(1)=1/2矛盾.
因此,s(n)不等于0.
0=s(n+1)-s(n)+2s(n+1)s(n),
0=1/s(n...
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0=a(n+1)+2s(n+1)s(n)=s(n+1)-s(n)+2s(n+1)s(n),
1/2=a(1)=s(1)>0, s(n+1)=s(n)[1-2s(n+1)],
若s(n+1)=0, 则s(n)=0, ..., s(1)=0, 与s(1)=1/2矛盾.
因此,s(n)不等于0.
0=s(n+1)-s(n)+2s(n+1)s(n),
0=1/s(n) - 1/s(n+1) + 2
1/s(n+1)=1/s(n) + 2
{1/s(n)}是首项为1/s(1)=2,公差为2的等差数列.
1/s(n)=2+2(n-1)=2n,
s(n)=1/(2n).
a(n+1)=s(n+1)-s(n)=1/[2(n+1)] - 1/(2n) = (-1/2)/[n(n+1)],
a(1)=1/2,
a(n)=(-1/2)/[n(n-1)], n=2,3,...
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