已知AB是圆O的直径,点C在圆O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.(1)求证：PC是圆O的切线；（2）求证：BC=1/2AB;(3）点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.

已知AB是圆O的直径,点C在圆O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.(1)求证：PC是圆O的切线；（2）求证：BC=1/2AB;(3）点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.
已知AB是圆O的直径,点C在圆O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求证：PC是圆O的切线；
（2）求证：BC=1/2AB;
(3）点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.

已知AB是圆O的直径,点C在圆O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.(1)求证：PC是圆O的切线；（2）求证：BC=1/2AB;(3）点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.
记得以前有这么什么定理 可以确定三角形ABC为直角三角形
只要确定三角形ABC为直角三角形
就可以求出第二小题
得三角形底边（CB）等于 1/2的斜边（AB）
由第二步可以确定三角形CBO为等边三角形
那么久可以确定脚CBP为120°的顿脚
由于 AC=PC 则三角形CAP 为等边三角形 且AO=OB=BP=CB
顾可以确定三角形CBP为一钝角为120°的等腰三角形 则角BCP=角BPC=30°
由于角PCB=30° 角BCO=60° 所以角PCO=角PCB+角BCO=60°+30°=90°
所以PC 是圆O的切线
这第3小题 估计要做辅助线 然后找出CM所在的三角形相似
然后利用等比相等定理 应该可以解出来.
好多年的东西了 都忘了 只能做成这样了.

∠COB=2∠PCB=2∠OCA=2∠OAC
AC=PC，角A=角P
三角形ACO全等于三角形PCB
CO=CB
故三角形OBC为等边三角形
角A为30度
AB为直径，则三角形ACB为直角三角形
M为弧AB中点，则MN为角ACB平分线
角ACN=角BCN=45度
连结BM
同弧所对角相等，角CMB=...

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∠COB=2∠PCB=2∠OCA=2∠OAC
AC=PC，角A=角P
三角形ACO全等于三角形PCB
CO=CB
故三角形OBC为等边三角形
角A为30度
AB为直径，则三角形ACB为直角三角形
M为弧AB中点，则MN为角ACB平分线
角ACN=角BCN=45度
连结BM
同弧所对角相等，角CMB=角CAB=30度
角BNM=角ONC=角NCB+角OBC=105度
则角MBN=45度（三角形内角和）
角MBC=角MBA+角ABC=105度=角BNM
三角形BMN相似于三角形CMB
MC/BM=BM/MN
MC*MN=BM^2
角OBM=45度
三角形OBM为等腰直角三角形，AB=4,半径为2
BM=2根号2
平方为8
MC*MN=8

收起

（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
又∵∠COB为△AOC的外角，
∴∠COB=2∠OCA，又∠COB=2∠PCB，
∴∠OCA=∠PCB，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCO=90°，
∵点C在⊙O上，
∴PC是⊙O...

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（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
又∵∠COB为△AOC的外角，
∴∠COB=2∠OCA，又∠COB=2∠PCB，
∴∠OCA=∠PCB，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCO=90°，
∵点C在⊙O上，
∴PC是⊙O的切线；

收起

证明：∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO． 又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB， ∴∠A=∠ACO=∠PCB． 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACO+∠OCB=90°． ∴∠PCB+∠OCB=90°． 即OC⊥CP， ∵OC是⊙O的半径． ∴PC是⊙O的切线．（2）证明：∵AC=PC， ∴∠A=∠P， ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P． 又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，...

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证明：∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO． 又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB， ∴∠A=∠ACO=∠PCB． 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACO+∠OCB=90°． ∴∠PCB+∠OCB=90°． 即OC⊥CP， ∵OC是⊙O的半径． ∴PC是⊙O的切线．（2）证明：∵AC=PC， ∴∠A=∠P， ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P． 又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB， ∴∠COB=∠CBO， ∴BC=OC． ∴BC=12AB．（3）连接MA，MB， ∵点M是AB^的中点， ∴AM^=BM^， ∴∠ACM=∠BCM． ∵∠ACM=∠ABM， ∴∠BCM=∠ABM． ∵∠BMN=∠BMC， ∴△MBN∽△MCB． ∴BMMC=MNBM． ∴BM2=MN•MC． 又∵AB是⊙O的直径，AM^=BM^， ∴∠AMB=90°，AM=BM． ∵AB=4， ∴BM=22． ∴MN•MC=BM2=8

收起

直径所对的圆周角是直角

∵角COB为△AOC的外角
∴∠COB=∠CAO+∠ACO
∵OA=OC ∴∠CAO=∠ACO
∴∠COB=2∠ACO ∵∠COB=2∠PCB ∴∠ACO=∠PCB
∵AC=PC ∴∠CAO=∠P ∴△AOC≌△PBC
∴∠ACO=∠PCB ∴∠PCO=∠ACB
∵A是圆O的直径 ∴∠ACB=90°即∠PCD=90度