用一个平面去截正方体,截面可能是七边形吗?请说出原因

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 23:37:43
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用一个平面去截正方体,截面可能是七边形吗?请说出原因
用一个平面去截正方体,截面可能是七边形吗?请说出原因

用一个平面去截正方体,截面可能是七边形吗?请说出原因
这道题看似简单,其实证明很麻烦.结论是不可能,也就是一个平面截一个
正方体,不可能同时与它的七个棱相交.直观上是明显的,最多交六个棱.
我们用代数证明,取坐标系,使12个棱上点的坐标分别是:(a,0,0)
(0,b,0),(0,0,c),(1,b.0),(1,0,c),(a,1,0),(0,1,c),
(a,0,1),(0,b,1),(1,1,c),(1,b,1),(a,1,1).[0<a,b.c<1]
然后取七个点(共C[12,7]种取法),再证明这七个点不共面行了.我作一个吧
设平面 mx+ny+pz+q=0[m,n,p不全为0]过后七个点,(a,1,0),(0,1,c),
(a1,0,1),(0,b,1),(1,1,c1),(1,b1,1),(a2,1,1).则有:
ma+n++q=0
n+pc+q=0
ma1++p+q=0
nb+p+q=0
m+n+pc1+q=0
m+nb1+p+q=0
ma2+n+p+q=0
把它看成m,n,p,q的齐次线性方程组,容易计算(我具体计算了)其系数矩阵
的秩为4,方程组只有零解,即m=n=p=q=0,这与[m,n,p不全为0]矛盾.
[我说麻烦,就是要计算C[12,7]=792个矩阵的秩都是4,这已经超出人力范围
了!]

不可能,最多只能是六边形

不可能,因为面与面相交得到线,所以不可能。