请问sinα²cosα如何求最值?请问为什么老师说的是在tanα=√2时

请问sinα²cosα如何求最值?请问为什么老师说的是在tanα=√2时
请问sinα²cosα如何求最值?
请问为什么老师说的是在tanα=√2时

请问sinα²cosα如何求最值?请问为什么老师说的是在tanα=√2时
令y=sinα²cosα
两边平方：
y^2=(sinα)^4*(cosα)^2
=[(1-(cosα)^2]^2*(cosα)^2
=(1/2)[1-(cosα)^2][1-(cosα)^2][2(cosα)^2]
（再利用平均值不等式：a,b,c∈R+ abc≤[(a+b+c)/3]^3 ）
(1/2)[1-(cosα)^2][1-(cosα)^2][2(cosα)^2]
≤（1/2){[1-(cosα)^2]+[1-(cosα)^2]+[2(cosα)^2]/3}^3
=(1/2)(4/3)^3=16/27
-(4√3)/9≤y≤(4√3)/9
sinα²cosα的最大值(4√3)/9,最小值-(4√3)/9.
当1-(cosα)^2=1-(cosα)^2=2(cosα)^2 时有最大值,
此时可解得（cosα)^2=1/3,从而（sinα)^2=2/3,所以(tanα)^2=(2/3)/(1/3)=2
故有tanα=√2 时,有最大值.
两者并不矛盾.

分析：
方法一：
令y=sinα²cosα，两边平方：
y^2=(sinα)^4*(cosα)^2
=[(1-(cosα)^2]^2*(cosα)^2
=(1/2)[1-(cosα)^2][1-(cosα)^2][2(cosα)^2]
（再利用均值不等式：a,b,c∈R+ abc≤[(a+b+c)/3]^3 ）
(1/2)[...

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分析：
方法一：
令y=sinα²cosα，两边平方：
y^2=(sinα)^4*(cosα)^2
=[(1-(cosα)^2]^2*(cosα)^2
=(1/2)[1-(cosα)^2][1-(cosα)^2][2(cosα)^2]
（再利用均值不等式：a,b,c∈R+ abc≤[(a+b+c)/3]^3 ）
(1/2)[1-(cosα)^2][1-(cosα)^2][2(cosα)^2]
≤（1/2){[1-(cosα)^2]+[1-(cosα)^2]+[2(cosα)^2]/3}^3
=(1/2)(2/3)^3=4/27
-(2√3)/9≤y≤(2√3)/9
sinα²cosα的最大值(2√3)/9，最小值-(2√3)/9。
方法二：
y=sinα²cosα，令cosa=x x∈[-1,1]
y=(1-x^2)x=x-x^3
令 y'=1-3x^2=0，x=√3/3，-√3/3∈[-1,1]
经验证，
x=√3/3，max y=(2√3)/9
x=-√3/3，max y=(-2√3)/9
cosa=x=√3/3
sina=2√3/3
tana=√2

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