定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x＞0时,f(x)＞1,且对任意a,b属于R,f(a+b)=f(a)f(b).（1）（会）证出f(0)=1（2） 求证：x属于R,f(x)＞0 恒成立（3）求证：f（x）为R上增函数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 15:32:14
定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x＞0时,f(x)＞1,且对任意a,b属于R,f(a+b)=f(a)f(b).（1）（会）证出f(0)=1（2） 求证：x属于R,f(x)＞0 恒成立（3）求证：f（x）为R上增函数
定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x＞0时,f(x)＞1,且对任意a,b属于R,f(a+b)=f(a)f(b).
（1）（会）证出f(0)=1
（2） 求证：x属于R,f(x)＞0 恒成立
（3）求证：f（x）为R上增函数
定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x＞0时,f(x)＞1,且对任意a,b属于R,f(a+b)=f(a)f(b).（1）（会）证出f(0)=1（2） 求证：x属于R,f(x)＞0 恒成立（3）求证：f（x）为R上增函数
（1）令a=0,b=0,则f(0+0)=f(0)*f(0),f(0)不等于0,所以两边约掉1个f(0),得出f(0)=1
（2）令x>0,则-x0
因为 x＞0,f(x)>1>0
所以 f(-x)>0
由（1）得,f(0)=1>0
所以,x属于R,f(x)＞0 恒成立
（3）Ⅰ令 0≤ab>a≥0
f(a+b)-f(b)=f(a)f(b)-f(b)=f(b)*(f(a)-1),此时,b>a>0,f(a)>1,f(b)>1>0
f(a)-1>0
f(a+b)-f(b)=f(b)*(f(a)-1)>0
f(a+b)>f(b)
Ⅱ 令 a0,f(b)>1
f(a+b)/f(a)>1,所以,f(a+b)>f(a)
综上,f（x）为R上增函数
(2)设x>0则-x<0由(1)知
f(0)=f(x-x)=f(x)f( -x)=1
即f( -x)=1\f(x)>0.
所以对任意x<0,f(x)>0
(3)设x1,x2属于R,x1=x2+c,c>0
f( x1)\f( x2)=f( x2+c)\f(x2)=f( x2)f( c)\f( x2)=f( c)
因为c>0所以f( c)>1
所以f( x1)\f( x2)>1
即f( x1)>f( x2)
所以f( x)是R上的单调增函数
第二问：f(0)=1则f(x)f(-x)=1 当X属于R时，又f(x)=f(x/2)的平方，那么f(x)大于等于0，同理，也可证明f(-x)大于等于0，又f(x)f(-x)=1，所以排除f(x)或者f(-x)等于0的情况，所以x属于R，f(x)＞0 恒成立
有了前面的铺垫，第三问简直就是个……（情绪失控ing)继续继续
第三问：设a>b 且a,b均属于R，则a-b=t t>0 。（...
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第二问：f(0)=1则f(x)f(-x)=1 当X属于R时，又f(x)=f(x/2)的平方，那么f(x)大于等于0，同理，也可证明f(-x)大于等于0，又f(x)f(-x)=1，所以排除f(x)或者f(-x)等于0的情况，所以x属于R，f(x)＞0 恒成立
有了前面的铺垫，第三问简直就是个……（情绪失控ing)继续继续
第三问：设a>b 且a,b均属于R，则a-b=t t>0 。（那个啥，对了，叫你一个办法，判断函数增减性常用的方法就两个，定义和导数，这个题想用导数就有点火星了。所以呢，还是定义好，定义里面不是比差就是比商，根据他给的条件“f(a+b)=f(a)f(b).”你肯定也能看出来用比商了吧？）
继续继续
f(a)/f(b)=f(b)f(t)/f(b)也就是等于f(t),又t>0,所以f(t)>对于比商来说，取值大比小结果大于1，那么就是增函数了，结果小于1，自然就是减函数了，HOHO，这个题就这样把TA OOXX了，呵呵
收起
1） 让a=0，b=0， 则f(0+0)=f(0)*f(0),f(0)不等于0，所以两边约掉1个f(0)，得出f(0)=1
不好意思，后边两个不会