一道高等代数中简单的求全部不变子空间的题

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/02/02 23:03:44

一道高等代数中简单的求全部不变子空间的题一道高等代数中简单的求全部不变子空间的题一道高等代数中简单的求全部不变子空间的题这个题目有问题,没有讲清楚域K,相应的V也就不确定,这自然要影响到不变子空间1.

一道高等代数中简单的求全部不变子空间的题
一道高等代数中简单的求全部不变子空间的题

一道高等代数中简单的求全部不变子空间的题
这个题目有问题, 没有讲清楚域K, 相应的V也就不确定, 这自然要影响到不变子空间
1. 先写出σ在这组基下的表示矩阵
A=
2 -4
3 9
2. 在V的基域K上求出A的所有特征值和特征向量
这里先按照K=C来算
A的特征值是5和6, 对应的特征向量分别是(4,-3)^T和(1,-1)^T
3. V至少有两个平凡不变子空间{0}和V
一维的不变子空间是特征子空间span{(4,-3)^T}和span{(1,-1)^T}
没有更多的了
注意, 讲清楚域是非常重要的.
这里出题人的"运气比较好", 只要K包含Q总能得到两个特征值, 而K在span这个记号里也不显式出现, 所以从条件到结论都可以避开显式叙述K, 但这不代表题目没出错.
如果换一个例子,
A=
0 1
-1 0
K=Q或K=R, 那么σ就没有特征值(尽管A有两个复特征值, 但不属于K), 此时也就没有一维的不变子空间
但如果K=C就会有两个一维的不变子空间

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