用数学归纳法证明：1+1/根号2+1/根号3+.+1/根号n
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 22:20:04
用数学归纳法证明：1+1/根号2+1/根号3+.+1/根号n
用数学归纳法证明：1+1/根号2+1/根号3+.+1/根号n
用数学归纳法证明：1+1/根号2+1/根号3+.+1/根号n
n=2时,1+1/√2
不用数学归纳法也可证明。
只须利用不等式
1√n＜2(√n-√(n-1))
令n=k时，成立，1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k<2√k；
当n=k+1时，上式左边=1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1)，上式右边=2√k+1/√(k+1)，
∵4k²+4k<4k²+4k+1，∴2√k√(k+1)<2k+1，∴2√k√(k+1)+1<2k+2，∴2√k+1/√(k+1)<2√(k+1),
则上式右边=2√k...
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令n=k时，成立，1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k<2√k；
当n=k+1时，上式左边=1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1)，上式右边=2√k+1/√(k+1)，
∵4k²+4k<4k²+4k+1，∴2√k√(k+1)<2k+1，∴2√k√(k+1)+1<2k+2，∴2√k+1/√(k+1)<2√(k+1),
则上式右边=2√k+1/√(k+1)<2√(k+1)，即1+1/√2+1/√3+┄┄+1/√k+1/√(k+1)<2√(k+1)成立。
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设k=n时原不等式成立,则k=n+1时,左=1+1/根号2^3+1/根号3^3+....+1/根号n^3+1/根号(n+1)^3
≤3-2/根号n+1/根号(n+1)^3
下证-2/根号n+1/根号(n+1)^3≤-2/根号(n+1)
而根号(n+1)+根号n≤2根号(n+1)
根号n≤根号(n+1)
根号(n+1)≤根号(n+1)
3个式子相乘有<...
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设k=n时原不等式成立,则k=n+1时,左=1+1/根号2^3+1/根号3^3+....+1/根号n^3+1/根号(n+1)^3
≤3-2/根号n+1/根号(n+1)^3
下证-2/根号n+1/根号(n+1)^3≤-2/根号(n+1)
而根号(n+1)+根号n≤2根号(n+1)
根号n≤根号(n+1)
根号(n+1)≤根号(n+1)
3个式子相乘有
[根号(n+1)+根号n]根号n(n+1)≤2根号(n+1)^3
所以2/[根号(n+1)+根号n]根号n(n+1)≥2/2根号(n+1)^3
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设f(n)=2(√(n+1)-1)
g(n)= 1+1/√2+1/√3+....+1/√n
h(n)= 2√n
a=f(n)- f(n-1)=2(√(n+1)-√n)=2/(√(n+1)+√n)
b=g(n)-g(n-1)=1/√n=2/(2√n)
通过a b的比较，可知a
g(1)=1 ...
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设f(n)=2(√(n+1)-1)
g(n)= 1+1/√2+1/√3+....+1/√n
h(n)= 2√n
a=f(n)- f(n-1)=2(√(n+1)-√n)=2/(√(n+1)+√n)
b=g(n)-g(n-1)=1/√n=2/(2√n)
通过a b的比较，可知a
g(1)=1 所以，f(1)
同理，c= h(n)- h(n-1)=2(√n-√(n-1))=2/(√n+√(n-1))
通过c b的比较，可知c>b
h(1)=2 所以，h(1)>g(1)
所以，h(n)>g(n)
综上所述 2(√n+1-1)<1+1/√2+1/√3+....+1/√n<2√n
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