关于一致收敛性的讨论讨论一下这个积分的一致收敛性,

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/22 23:31:50

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关于一致收敛性的讨论

讨论一下这个积分的一致收敛性,

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方法比较常规,就是用Cauchy收敛准则.
关键部分是对y > 0,0 < a < b,估计积分∫{a,b} e^(-yx²) dx的上界:
∫{a,b} e^(-yx²) dx
≤ ∫{a,b} x/a·e^(-yx²) dx (0 < a ≤ x)
= ∫{a,b} -(e^(-yx²))'/(2ya) dx
= (e^(-ya²)-e^(-yb²))/(2ya)
< 1/(2ya).
因此|∫{a,b} e^(-yx²)sin(y) dx|
= |sin(y)|·∫{a,b} e^(-yx²) dx
≤ |sin(y)|/(2ya)
≤ 1/(2a) (|sin(y)| ≤ y).
易见上述不等式对y = 0也成立.
于是对任意ε > 0,存在A = 1/ε,当b > a > A时,对任意y ≥ 0总有:
|∫{a,b} e^(-yx²)sin(y) dx| ≤ 1/(2a) < 1/(2A) = ε/2 < ε.
根据Cauchy收敛准则,含参广义积分∫{1,+∞} e^(-yx²)sin(y) dx对y ≥ 0一致收敛.

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