如果a>0,b>0 ,求证(a+b)(1/a+1/b)大于等于4,用反证法怎么证明啊?
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 13:04:32
如果a>0,b>0 ,求证(a+b)(1/a+1/b)大于等于4,用反证法怎么证明啊?
如果a>0,b>0 ,求证(a+b)(1/a+1/b)大于等于4,用反证法怎么证明啊?
如果a>0,b>0 ,求证(a+b)(1/a+1/b)大于等于4,用反证法怎么证明啊?
如果(a+b)(1/a+1/b)
设 (a+b)(1/a+1/b)<4,
把原式展开,则得到
b/a+a/b+2<4
即
b/a+a/b<2
由a>0,b>0 可知,b/a+a/b≥2恒成立,
所以题设(a+b)(1/a+1/b)小于4不成立,故原命题成立
反证:假设(a+b)(1/a+1/b)<4
由此得
1+a/b+b/a+1<4
a/b+b/a<2
(a^2+b^2)/ab<2
a^2+b^2<2ab
因为(a+b)^2>=0,拆开可以得到a^2+b^2>=2ab,由此得假设不成立,
所以(a+b)(1/a+1/b)大于等于4
按你的要求用反证法证:
设 (a+b)(1/a+1/b)<4
则 (a+b)^2/ab < 4
因为 a>0,b>0,所以 ab>0,两边同乘以ab得
(a+b)^2 < 4ab
(a-b)^2 < 0
显然,(a-b)^2 不可能小于 0,所以假设不成立,应是:
(a+b)(1/a+1/b) >= 4
要证明 (a+b)(1/a+1/b)≥4
假设原式不成立,即(a+b)(1/a+1/b)< 4
因为 1/a+1/b=(a+b)/ab
所以 (a+b)(1/a+1/b)< 4
(a+b)^2/ab < 4
因为a>0,b>0,
所以ab>0时 : (a+b)^2<4ab
...
全部展开
要证明 (a+b)(1/a+1/b)≥4
假设原式不成立,即(a+b)(1/a+1/b)< 4
因为 1/a+1/b=(a+b)/ab
所以 (a+b)(1/a+1/b)< 4
(a+b)^2/ab < 4
因为a>0,b>0,
所以ab>0时 : (a+b)^2<4ab
a^2+2ab+b^2<4ab
a^2-2ab+b^2<0
(a-b)^2<0
不成立。
得证
收起
证明:假设(a+b)(1/a+1/b)<4
则(a+b)[(a+b)/ab]<4
(a+b)^2/ab<4
(a+b)^2/ab-4<0
[(a+b)^2 -4ab]/ab<0
(a-b)^2/ab<0
又因为(a-b)^2大于等于0
所以ab<0
这与已知a>0,b>0不符合
故(a+b)(1/a+1/b)大于等于4