已知x+2y+4z=1,q求x^+y^+z^的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 00:31:44
已知x+2y+4z=1,q求x^+y^+z^的最小值
已知x+2y+4z=1,q求x^+y^+z^的最小值
已知x+2y+4z=1,q求x^+y^+z^的最小值
因为x+2y+4z=1
所以2x+4y+8z=2
所以 x^2+y^2+z^2
=x^2+y^2+z^2+2-2
=x^2+y^2+z^2+2x+4y+8z-2
=x^2+2x+1-1+y^2+4y+4-4+z^2+8z+16-16-2
=(x+1)^2+(y+2)^2+(z+4)^2-23
要使取得最小值有：
（x+1）^2=0
(y+2)^2=0
(z+4)^2=0
所以最小值为-23
可惜不等式，（x²+y²+z²）（1²+2²+4²）≥（x+2y+4z）²=1，于是x²+y²+z²≥1/21
根据柯西不等式
(x^2+y^2+z^2)(1+4+16)≥(x+2y
+4z)^2=1
(x^2+y^2+z^2)*21≥1
x^2+y^2+z^2≥1/21
所以最小值为1/21
x+2y+4z=1 得 x = 1 - 2y - 4z
将x = 1 - 2y - 4z代入 x^+y^+z^得
x^+y^+z^
=( 1 - 2y - 4z )^2 + y^2 + z^2
=((2y+4z)-1)^2+y^2+z^2
=(2y+4z)^2 -2(2y+4z) +1 + y^2 + z^2
=4y^2 + 8yz + 16z^...
全部展开
x+2y+4z=1 得 x = 1 - 2y - 4z
将x = 1 - 2y - 4z代入 x^+y^+z^得
x^+y^+z^
=( 1 - 2y - 4z )^2 + y^2 + z^2
=((2y+4z)-1)^2+y^2+z^2
=(2y+4z)^2 -2(2y+4z) +1 + y^2 + z^2
=4y^2 + 8yz + 16z^2 - 4y - 8z +1 + y^2 + z^2
=5y^2 + 17z^2 + 8yz + 16z^2 - 4y - 8z +1
=5y^2 + (8z-4)y + 17z^2 + 16z^2 - 8z +1
将y看成变量，z看成常量，利用配方法可得，当y = -(8z-4) / (5*2)时，最小
y=0.4 - 0.8z
代入得
x^+y^+z^
=( 1 - 2y - 4z )^2 + y^2 + z^2
=( 1 - 2(0.4-0.8z) -4z )^2+(0.4 - 0.8z)^2 + z^2
=( 0.2 - 2.4z )^2 + (0.4 - 0.8z)^2 + z^2
=5.76z^2 - 0.96z + 0.04 + 0.64 z^2 -0.64z +0.16 +z^2
=7.4z^2 - 1.6z + 0.2
得z = 1.6 / ( 7.4 *2 )时最小代入上式即可， 其中计算可能出错，思路是不会错的，先削去一个未知数，再将其中的一个当初常量，一步步求解即可
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