什么是黎曼几何?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 10:58:48
什么是黎曼几何?
什么是黎曼几何?
什么是黎曼几何?
黎曼（德,1826－1866年）：几何观点,黎曼面.1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》,其重要性恰如著名数学家阿尔福斯（芬－美,1907－1996年）所说：这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌芽,而且开启了拓扑学的系统研究,革新了代数几何,并为黎曼自己的微分几何研究铺平了道路.此外,建立了柯西－黎曼条件,真正使这方程成为复分析大厦的基石,揭示出复函数与实函数之间的深刻区别,黎曼映射定理.
黎曼流形上的几何学.德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论.1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说,通常被认为是黎曼几何学的源头.在这篇演说中,黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体,而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体.他首先发展了空间的概念,提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ,空间中的点可用n个实数（x1,……,xn）作为坐标来描述.这是现代n维微分流形的原始形式,为用抽象空间描述自然现象奠定了基础.这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1,x2,……xn）与（x1+dx1,……xn+dxn）之间的距离,用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量.亦即 （gij）是由函数构成的正定对称矩阵.这便是黎曼度量.赋予黎曼度量的微分流形,就是黎曼流形.
黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构,并且在同一流形上可以有许多不同的度量.黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2,即第一基本形式,而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构.黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性,从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚,创立了黎曼几何学,为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献.
黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例.例如：定义度量（a是常数）,则当a=0时是普通的欧几里得几何,当a>0时 ,就是椭圆几何 ,而当a