计算∫∫（D）ds/(1+x+y)^2,其中D为平面x+y+z=1及三个坐标面所围成的四面体的表面

计算∫∫（D）ds/(1+x+y)^2,其中D为平面x+y+z=1及三个坐标面所围成的四面体的表面
计算∫∫（D）ds/(1+x+y)^2,其中D为平面x+y+z=1及三个坐标面所围成的四面体的表面

计算∫∫（D）ds/(1+x+y)^2,其中D为平面x+y+z=1及三个坐标面所围成的四面体的表面
四个平面一个一个计算：
z=0：dS=√(1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²)dxdy=dxdy
∫∫ 1/(1+x+y)² dxdy
=∫[0--->1]dx∫[0--->1-x] 1/(1+x+y)² dy
=∫[0--->1] -1/(1+x+y) |[0--->1-x] dx
=∫[0--->1] [1/(1+x)-1/2] dx
=ln(1+x)-(1/2)x |[0--->1]
=ln2-1/2
x=0：dS=√(1+(∂x/∂y)²+(∂x/∂z)²)dxdy=dydz
∫∫ 1/(1+y)² dydz
=∫[0--->1]dy∫[0--->1-y] 1/(1+y)² dz
=∫[0--->1] z/(1+y)² |[0--->1-y] dy
=∫[0--->1] (1-y)/(1+y)² dy
=∫[0--->1] (2-y-1)/(1+y)² dy
=2∫[0--->1] 1/(1+y)² dy-∫[0--->1] 1/(1+y) dy
=-2/(1+y)-ln(1+y) |[0--->1]
=2-1-ln2
=1-ln2
y=0结果与x=0一样.
x+y+z=1：dS=√(1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²)dxdy=√3dxdy
∫∫ 1/(1+x+y)² dS
=√3∫∫ 1/(1+x+y)² dxdy
=√3(ln2-1/2)
因此最终结果：(ln2-1/2)+2(1-ln2)+√3(ln2-1/2)=(√3-1)ln2+(3-√3)/2