函数y=f(x) x属于R满足f(x)是偶函数,又f(0)=2003,g(x)=f(x-1)为奇函数则f(2004)等于多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 21:57:22
函数y=f(x) x属于R满足f(x)是偶函数,又f(0)=2003,g(x)=f(x-1)为奇函数则f(2004)等于多少?
函数y=f(x) x属于R满足f(x)是偶函数,又f(0)=2003,g(x)=f(x-1)为奇函数则f(2004)等于多少?
函数y=f(x) x属于R满足f(x)是偶函数,又f(0)=2003,g(x)=f(x-1)为奇函数则f(2004)等于多少?
g(x)=f(x-1)
g(-x)=f(-x-1)
因为g(x)是奇函数,
所以 g(x)+g(-x)=0
即
f(x-1)+f(-x-1)=0
f(x-1)=-f(-x-1)
又f(x)是偶函数
所以
f(-x-1)=f(x+1)
f(x-1)=-f(x+1)
f(x+1)=f[(x+2)-1]=-f[-(x+2)-1]
=-f(-x-3)
所以
f(x-1)=f(-x-3)=f(x+3)
周期=4
所以
f(2004)=f(0)=2003
函数g（x）是由函数f（x）向右平移一个单位得到，而且图象关于原点对称，
所以函数f（x）图象是关于点（-1，0）成中心对称，
又因为函数f（x）是偶函数，所以图象关于y轴成轴对称，且关于（1，0）成中心对称，
综合上述，f（x）图象关于y轴以及（-1，0），（1，0）对称．
所以对称轴与相邻对称中心的距离为1，
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函数g（x）是由函数f（x）向右平移一个单位得到，而且图象关于原点对称，
所以函数f（x）图象是关于点（-1，0）成中心对称，
又因为函数f（x）是偶函数，所以图象关于y轴成轴对称，且关于（1，0）成中心对称，
综合上述，f（x）图象关于y轴以及（-1，0），（1，0）对称．
所以对称轴与相邻对称中心的距离为1，
根据图象对称中的结论可得：f（x）的周期4×1=4，
所以f（2004）=f（0）=2003．
故答案为：2003．
收起
由已知条件可知f(x+1)=-f(x-1)
得：
f(2004)=2003