如图,已知BD,CE是△ABC的高,P,Q分别在BD和CE的延长线上,且BP=AC,CQ=AB求证：AP=AQ
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 10:41:06
如图,已知BD,CE是△ABC的高,P,Q分别在BD和CE的延长线上,且BP=AC,CQ=AB求证：AP=AQ
如图,已知BD,CE是△ABC的高,P,Q分别在BD和CE的延长线上,且BP=AC,CQ=AB
求证：AP=AQ
如图,已知BD,CE是△ABC的高,P,Q分别在BD和CE的延长线上,且BP=AC,CQ=AB求证：AP=AQ
设BD与CE的交点为O
在三角形AOE和三角形COD中,因为BD是三角形ABC的高,所以角CDO=90度；
因为CE是三角形ABC的高,所以角BEO=90度；
且角BOE=角COD(对顶角)
所以,角EBO=角OCD,即角ABP=角ACQ
在三角形ABP和三角形AQC中,因为：AB=CQ
角ABP=角ACQ
BP=AC (边角边)
所以,三角形ABP和三角形AQC全等
所以,AP=AQ
证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知），
∴∠ABD+∠BAC=90°，∠ACE+∠BAC=90°（垂直定义），
∴∠ABD=∠ACE（等量代换），
又∵BP=AC，CQ=AB（已知），
∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AP=AQ（全等三角形对应边相等）．
（2）由（1）可得∠CAQ=∠P（全等三角形对应角相等），
∵BD⊥AC（已...
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证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知），
∴∠ABD+∠BAC=90°，∠ACE+∠BAC=90°（垂直定义），
∴∠ABD=∠ACE（等量代换），
又∵BP=AC，CQ=AB（已知），
∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AP=AQ（全等三角形对应边相等）．
（2）由（1）可得∠CAQ=∠P（全等三角形对应角相等），
∵BD⊥AC（已知），即∠P+∠CAP=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠CAQ+∠CAP=90°（等量代换），即∠QAP=90°，
∴AP⊥AQ（垂直定义）．
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