四边形ABCD中,M为CD的中点,已知△ABM的面积为四边形ABCD面积的一半,求证AD‖BC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/05 14:16:07
四边形ABCD中,M为CD的中点,已知△ABM的面积为四边形ABCD面积的一半,求证AD‖BC
四边形ABCD中,M为CD的中点,已知△ABM的面积为四边形ABCD面积的一半,求证AD‖BC
四边形ABCD中,M为CD的中点,已知△ABM的面积为四边形ABCD面积的一半,求证AD‖BC
【死008,你好像写错了吧!三角形EFB与三角形BCE面积怎么相等的?】
【图：http://hi.baidu.com/%D7%CF%C2%DE%C0%BC%B0%AE%E9%CF%E9%AD%CA%F7/album/item/2930d2021571e4bd0afa9355.html#】或看文字回答下的图
要解决您的这个问题,首先要引入一道小学奥数题：
如图（1）,四边形ABCD中,E是AB中点,F是CD中点,连接AF,ED交于点G,连接CE,BF交于点H,已知S△ADG=13,S△BHC=11,求S四EGFH
在这个图形中,有S△ADG+ S△BHC=S四EGFH
所以S四EGFH=24
那么对上面的等式做一下变形：
（S△ADG+S△GDF）+（S△FHC+ S△BHC）=S四EGFH+ （S△GDF+S△FHC）
即S△ADF+S△BFC=S△DEC…………①
同理 S△EAD+S△BEC=S△BAF…………②
式子①,②就与你的题目有很大的关系
现要证明这两个结论,如图（2）
证：作DX,FY,CZ分别垂直AB于X,Y,Z
∵CZ⊥AB,FY⊥AB
∴∠CZB=∠FYA=90°
∴CZ‖FY
同理,DX‖FY
∴DX‖FY‖CZ
∵DF=FC
∴XY=YZ（平行线等分线段定理）
【平行线等分线段定理：两条直线被三条平行直线所截,如果一条直线上截得的线段相等,那么另一条直线上截得的线段相等】
∴梯形CYXD中,FY是中位线
∴FY=½（DX+CZ）
∴S△EAD+S△BEC
=½•AE•DX+½•BE•CZ
=AE•½（DX+CX）
=(½•AB)•FY
= S△BAF
同理,S△ADF+S△BFC=S△DEC
再回到你的题目,如图（3）
证：取AB中点N,连接AM,BM,CN,DN,MN,作AP⊥MN于P,BQ⊥MN于Q
∵△ABM的面积为四边形ABCD面积的一半
∴S△ABM=S△ADM+S△MBC
由上面结论可知：S△DNC= S△ADM+S△MBC
∴S△DNC=S△ABM
又∵△AMN与△AMB同高,且底之比为1:2
∴S△ANM=½S△ABM
同理S△DMN=½S△DCN
∴S△ANM=S△DMN
∴½•AP•MN=½•BQ•MN
∴AP=BQ
又∵AP⊥MN于P,BQ⊥MN于Q
∴AD‖MN
同理,BC‖MN
∴AD‖BC
【希望对你有帮助】
作EF‖BC ，F为EF与AB交点。
易证三角形EFB与三角形BCE面积相等。（高，底相等）
即三角形BEF面积为四边形BCEF的一半。
做AG垂直与EF，垂足为G，做BH垂直与EF，垂足为H，要满足△ABM的面积为四边形ABCD面积的一半，必须使三角形AEF面积为四边形ADEF一半，即三角形AEF与三角形ADE面积相等。
根据三角形面积公式，又两三角形底相等，可知...
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作EF‖BC ，F为EF与AB交点。
易证三角形EFB与三角形BCE面积相等。（高，底相等）
即三角形BEF面积为四边形BCEF的一半。
做AG垂直与EF，垂足为G，做BH垂直与EF，垂足为H，要满足△ABM的面积为四边形ABCD面积的一半，必须使三角形AEF面积为四边形ADEF一半，即三角形AEF与三角形ADE面积相等。
根据三角形面积公式，又两三角形底相等，可知两三角形高相等，即AG等于BH，又AG垂直与EF，BH垂直与EF，所以AD‖EF，又EF‖BC ，所以AD‖BC。
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