费马点是什么?若有一个普通带有60度的三角形,AB与BC为夹边,费马点为P,PA=3,且PC=4,求PB初中三年的数学书上没有这个知识点,只求最佳答案,谢
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 21:32:02
费马点是什么?若有一个普通带有60度的三角形,AB与BC为夹边,费马点为P,PA=3,且PC=4,求PB初中三年的数学书上没有这个知识点,只求最佳答案,谢
费马点是什么?若有一个普通带有60度的三角形,AB与BC为夹边,费马点为P,PA=3,且PC=4,求PB
初中三年的数学书上没有这个知识点,只求最佳答案,谢
费马点是什么?若有一个普通带有60度的三角形,AB与BC为夹边,费马点为P,PA=3,且PC=4,求PB初中三年的数学书上没有这个知识点,只求最佳答案,谢
三角形费马点的定义：
对于任意三角形△ABC,若三角形内或三角形上某一点P,若PA+PB+PC有最小值,则取到最小值时P为费马点.
三角形费马点的确定：
1）当三角形的每个角都小于120°时,在△ABC内部,使得∠APB=∠BPC=∠APC=120°的点P,即为费马点.（即3条距离连线正好平分费马点所在的周角）
作图：△ABC中,以AB,AC为边向外做等边三角形ABE,ACD,连接CE,BD,交于点P,点P即为费马点.（很显然,若作△BCF,连接AF,则AF也过点P）
2）当三角形有一个角大于或等于120°时,则此钝角顶点就为费马点
证明：
1）当三角形的每个角都小于120°时,△ABC中,以AB,AC为边向外做等边△ABE,ACD,连接CE,BD,交于点P,点P即为费马点
应该比较清楚了（就是有两个E,你知道是那个就行了= =）,那么再作等边三角形BCG,并以这个链接上的图说说,AG为什么过点P,和此时∠APB=∠BPC=∠APC=120°
连接AP,EP,易知∠DPC=∠BGC=60°
∴B、G、C、P四点共圆（一个外角等于其邻补角的内对角的四边形的四个顶点共圆）
∵BG=CG
∴∠GPB=∠GPC=60°（等弦对的圆周角相等）
∵△ACE≌△ADB
∴∠ADB=∠ACP
∴A、D、C、P四点共圆
∴∠APD=∠ACD=60°（同弧对的圆周角相等）
∴∠APG=∠APD+∠DPC+∠GPC=180°
∴A、P、G三点共线
即AG过点P
这样也很明显了,此时∠APB=∠BPC=∠APC=120°
2）当三角形有一个角大于或等于120°时,则此钝角顶点就为费马点
如新图【在我的回答最下方】（1）,在△ABC内部有一点P,∠BAC≥120°
要证明：点A为费马点,即AB+AC＜PA+PB+PC
延长BA至C'使得AC=AC',做∠C'AP'=∠CAP,并且使得AP'=AP, PC'=PC,（说了这么多,其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）
则△APC≌△AP'C'（SAS）
∵∠BAC≥120°
∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'
=180°-∠BAP-∠CAP
=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP'中,∠APP’=∠AP’P=(180°-∠BAC)/2≥60°
∴∠APP’=∠AP’P≥∠BAC
∴AP=AP’≥PP’（三角形中,大角对大边）
∴PA+PB+PC
≥PP'+PB+P’C'
>BC'=AB+AC’
=AB+AC
所以A是费马点
费马点介绍完了,回到你的题目.
如图（2）
证：很显然,这个三角形中没有一个角大于等于120°
所以费马点的情况属于1）
那么有∠APB=∠BPC=120°
∴△BAP中,∠PAB+∠ABP=180°-∠APB=60°
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°
∴∠PAB=∠PBC
在△APB与△BPC中
∠PAB=∠PBC
∠APB=∠BPC
∴△APB∽△BPC
∴AP/BP=BP/PC（相似三角形对应边成比例）
∴PB²=PA•PC=3×4=12
∴PB=2√3
【图在上传中请稍等】
好详细！