在平行四边形ABCD中,做BC、CD边的高AE、AF,连接EF,O点是△AEF的垂心,连接AC,求证：AO^2+EF^2=AC^2

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/22 04:18:18

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在平行四边形ABCD中,做BC、CD边的高AE、AF,连接EF,O点是△AEF的垂心,连接AC,求证：AO^2+EF^2=AC^2
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在平行四边形ABCD中,做BC、CD边的高AE、AF,连接EF,O点是△AEF的垂心,连接AC,求证：AO^2+EF^2=AC^2
过E作EM⊥EF交AB于M.
∵O是△AEF的垂心,∴AO⊥EF,又EM⊥EF,∴AO∥ME.
∵O是△AEF的垂心,∴OE⊥AG,又AG⊥DC,∴OE∥DC.
∵ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,∴AB∥OE.
由AO∥ME、AB∥OE,得：AOEM是平行四边形,∴AO＝ME.
由勾股定理,有：FM^2＝ME^2＋EF^2＝AO^2＋EF^2.
∵O是△AEF的垂心,∴FO⊥AE,又CE⊥AE,∴FO∥CE,∴∠GOF＝∠GEC.
∵AO∥ME,∴∠AOG＝∠MEG.
∴∠GOF＋∠AOG＝∠GEC＋∠MEG,∴AOF＝∠MEC.
∵FO∥CE、OE∥FC,∴OECF是平行四边形,∴FO＝CE.
由AO＝ME、FO＝CE、∠AOF＝∠MEC,得：△AOF≌△MEC,∴AF＝MC.
∵平行线间处处等距离,而AF是平行线AB、DC间的距离,∴MC也是AB、DC间的距离,
∴MC⊥FC.
由AM∥FC、AF⊥FC、MC⊥FC,得：AFCM是矩形,∴AC＝FM.
∴AC^2＝AO^2＋EF^2.