四面体ABCD中,AB=CD,BC=AD,P,Q分别为AC,BD的中点（用空间向量证明）谢谢四面体ABCD中,AB=CD,BC=AD,P,Q分别为AC,BD的中点,求证:PQ⊥AC,PQ⊥BD （用空间向量证）谢谢
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/06 04:19:08
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证明：∵AB=CD,BC=AD,BD=BD
∴⊿CBD≌⊿ADB（SSS）
∴∠CBD=∠ADB,∠ABD=∠CDB
∴PQ·BD=(1/2)(CQ+AQ)·BD
=(1/2)(1/2CB+1/2CD+1/2AB+1/2AD)·BD
∵AB=CD,BC=AD,∠CBD=∠ADB,∠ABD=∠CDB
∴CD·BD=-AB·BD,CB·BD=-AD·BD
∴PQ·BD=(1/2)(1/2CB+1/2CD+1/2AB+1/2AD)·BD=0
∴PQ⊥BD
∵AB=CD,BC=AD,AC=AC
∴⊿CAB≌⊿ACD（SSS）
∴∠CAB=∠ACD,∠CBA=ADC
∴QP·AC=(1/2)(QC+QA)·AC
=(1/2) (1/2BC+1/2DC+1/2BA+1/2DA)·AC
∵AB=CD,BC=AD,∠CAB=∠ACD,∠CBA=ADC
∴BC·AC=-DA·AC,DC·AC=-BA·AC
∴QP·AC=(1/2) (1/2BC+1/2DC+1/2BA+1/2DA)·AC=0
∴QP⊥AC.
我用向量计算还是用的平面几何知识......，楼主不能硬要用向量法吧~~
祝你好运！睡了！！~
（可以先画个立体图，方便理解）由AB=CD,BC=AD以及BD是相交线得知三角形ABD=三角形CBD,所以∠ABD=∠CBD，又因为BC=AD、BQ=DQ,所以三角形CBQ=三角形ADQ,则CQ=AQ， 所以三角形ACQ是等腰三角形，P为AC中点，所以PQ⊥AC。同理PQ⊥BD。