什么是摆的等时性原理
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 19:14:15
什么是摆的等时性原理
什么是摆的等时性原理
什么是摆的等时性原理
摆的等时性原理是指不论摆动幅度（摆角小于5°时）大些还是小些,完成一次摆动的时间是相同的,现在人们公认伽利略发现了该原理,他在比萨的教堂中观察吊灯摆动现象时引发的结论.按照等时性原理,如果摆的振幅较小,那么摆动的周期同摆动的振幅无关.尽管在伽利略之前的好几个世纪中,等时性早已为阿拉伯人所熟知,但以严谨的科学态度去研究这一现象的科学家还是首推伽利略.他指出摆的周期并不取决于摆线上悬挂物的多少,而只取决于摆线长度的平方根.如果不考虑阻力的影响,悬挂在等长线上的一个软木球或一个铅球的摆动规律是相同的.
摆的周期公式为:T=2π*√（L/g）.可见,摆的周期与摆长和当地重力加速度有关.
对于摆长相同的钟摆（既绳长相同） 无论离最低点距离是多少（不超过圆的四分之一） 到达最低点的时间相同。
将摆线的一拱倒转，即对其底线作镜射，则此段摆线的最高点 C 变成最低点，若一质点从此段摆线任意点出发，在重力作用下沿摆线向下滑，则此质点到达最低点C所需的时间与出发点的位置无关。即：从任意两相异点出发，它们到达C点的时间相同。为π√(a/g)，其中a为此段摆线对应的动圆半径。
应用
惠更斯在1657年利用单摆的等时性原理发明了摆钟以后，逐渐发现单摆的等时性是有限制的——即在...
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将摆线的一拱倒转，即对其底线作镜射，则此段摆线的最高点 C 变成最低点，若一质点从此段摆线任意点出发，在重力作用下沿摆线向下滑，则此质点到达最低点C所需的时间与出发点的位置无关。即：从任意两相异点出发，它们到达C点的时间相同。为π√(a/g)，其中a为此段摆线对应的动圆半径。
应用
惠更斯在1657年利用单摆的等时性原理发明了摆钟以后，逐渐发现单摆的等时性是有限制的——即在摆角小于5°的时候，摆角的正弦值可近似的看做摆角的值，即Sin θ ≈ θ，从而有周期T=2π√(L/g)。
在不断的研究后，发现摆线的等时性不受摆角的影响，从而在1673年利用摆线的等时性制作出了具有真正等时性的摆钟。
不论振幅为多少，其周期是个定值，此定值等于 π√(4a/g)
证明
倒转后的摆线的参数方程为 x=aθ-asinθ， y=-a+a*cosθ ， 质点下滑的出发点 P 所对应的参数为 θ′（0<θ′<π）。当质点下滑到参数为 θ 的点时，根据能量守恒定律，质点丧失的势能转变成动能，所以质点在该处的的瞬时速度为 v（θ）=√(2ag（cosθ′-coaθ）)。
另一方面，弧长 s 的微分为 ds=√((dx)²+(dy)²)=2a*sin(θ/2)dθ
于是，质点滑落到最低点 C所需的时间为 ∫[θ′,π](2a*sin(θ/2)dθ )/√(2ag（cosθ′-coaθ）)
此值等于 π√(a/g)，与θ′无关。
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