如图,已知△ABC中,AB=AC=a,BC=10,动点P沿CA方向从点C向点A运动,同时,动点Q沿CB方向从点C向点B运动,速度都为每秒1个单位长度,P、Q中任意一点到达终点时,另一点也随之停止运动．过点P作PD∥BC,交AB
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/05 22:02:54
如图,已知△ABC中,AB=AC=a,BC=10,动点P沿CA方向从点C向点A运动,同时,动点Q沿CB方向从点C向点B运动,速度都为每秒1个单位长度,P、Q中任意一点到达终点时,另一点也随之停止运动．过点P作PD∥BC,交AB
如图,已知△ABC中,AB=AC=a,BC=10,动点P沿CA方向从点C向点A运动,同时,动点Q沿CB方向从点C向点B运动,速度都为每秒1个单位长度,P、Q中任意一点到达终点时,另一点也随之停止运动．过点P作PD∥BC,交AB边于点D,连接DQ．设P、Q的运动时间为t．
（1）直接写出BD的长；（用含t的代数式表示）
（2）若a=15,求当t为何值时,△ADP与△BDQ相似；
（3）是否存在某个a的值,使P、Q在运动过程中,存在S△BDQ：S△ADP：S梯形CPDQ=1：4：4的时刻,若存在,求出a的值；若不存在,请说明理由．
如图,已知△ABC中,AB=AC=a,BC=10,动点P沿CA方向从点C向点A运动,同时,动点Q沿CB方向从点C向点B运动,速度都为每秒1个单位长度,P、Q中任意一点到达终点时,另一点也随之停止运动．过点P作PD∥BC,交AB
⑴BD=CP=t,
⑵∵PD=BC,∴ΔABC∽ΔADP,∴题意就是ΔBDQ与ΔBC相似,
∵∠B为公共角,∴分两种情况进行：
①当ΔDBQ∽ΔABC,则BD/BQ=AB/BC=15/10=3/2,
∴2t=3(10-t),t=6,
②当ΔQBD∽ΔABC时,BQ/BD=AB/BC=3/2,
2(10-t)=3t,t=4.
综上所述：当t=4或6时,两个三角形相似.
⑶由已知得SΔADP/SΔABC=4/9,
∴DP/BC=√(4/9)=2/3(相似三角形面积的比等于比的平方)
∴DP=20/3,
又SΔDQ=1/2(10-t)*h,S四边形CPDQ=1/2(20/3+t)*h,
∴(10-t)/(20/3+t)=1/4,t=20/3.
又AD/AB=DP/BC=2/3,
∴AD/(AD+t)=2/3,
∴3AD=2(AD+20/3),
∴AD=40/3,
∴a=20/3.+40/3=20.
（1）BD=CP=t
（2）相似时，BQ/DP=DQ/AP
(BC-QC)/QC=PC/(AC-PC)
(10-t)/t=t/(15-t)
t^2=(10-t)(15-t)
t^2=150-25t+t^2
25t=150,t=6
(3)S△BDQ：S△ADP：S梯形CPDQ=1：4：4
∴S△ADP:S△ABC=4：9=2^2:3^2...
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（1）BD=CP=t
（2）相似时，BQ/DP=DQ/AP
(BC-QC)/QC=PC/(AC-PC)
(10-t)/t=t/(15-t)
t^2=(10-t)(15-t)
t^2=150-25t+t^2
25t=150,t=6
(3)S△BDQ：S△ADP：S梯形CPDQ=1：4：4
∴S△ADP:S△ABC=4：9=2^2:3^2
所以AP:AC=DP:BC=AD:AB=2:3，既有BD：AB=1：3
又S△BDQ：S△ABC=1：9
∴BQ：BC=1：3即（10-t）：10=1：3，解得t=20/3
又（a-t）：a=2：3
即（a-20/3）:a=2:3 解得a=20
∴a=20时满足题意
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