已知在三角形AOB中,OB=3,OA=4,AB=5,点P是三角形内切圆上一点,求以AP,BP,PO为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值。
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/22 07:58:08
已知在三角形AOB中,OB=3,OA=4,AB=5,点P是三角形内切圆上一点,求以AP,BP,PO为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值。
已知在三角形AOB中,OB=3,OA=4,AB=5,点P是三角形内切圆上一点,求以AP,BP,PO为直径
的三个圆的面积之和的最大值与最小值。
已知在三角形AOB中,OB=3,OA=4,AB=5,点P是三角形内切圆上一点,求以AP,BP,PO为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值。
设:内切圆圆心为C
如图把三角形放在直角坐标系中
因内切圆到三边距离相等
再利用点到直线方程可得
|4Cy + 3Cx + 12|/√(4² + 3²) = Cx = Cy
可解出C的坐标为(1,1)或(6,6)(舍去)
所以圆C方程为(y - 1)² + (x - 1)² = 1
上式可变形为 y² + x² - 2y -2x + 2 = 1 记为①式
点P满足该方程
以AP为直径的圆可表示为
π(√((Px - 4)² + Py²)/2)²
以BP为直径的圆可表示为
π(√(Px² + (Py - 3)²)/2)²
以PO为直径的圆可表示为
π(√(Px² + Py²)/2)²
设三圆面积为S
故S = π(√((Px - 4)² + Py²)/2)² + π(√(Px² + (Py - 3)²)/2)² +
π(√(Px² + Py²)/2)²
化简后得 S = π(3Px² + 3Py² - 8Px - 6Py + 25)/ 4
用①式乘以3再代入上式化简得
S =(22 - 2Px)π/4
由于Px范围为[0,2]
所以S最大值为11π/2
所以S最小值为9π/2
貌似没有问完整啊。。。