设Sn为等差数列an的前n项和.求证Sn/n为等差数列
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/21 21:49:11
设Sn为等差数列an的前n项和.求证Sn/n为等差数列
设Sn为等差数列an的前n项和.求证Sn/n为等差数列
设Sn为等差数列an的前n项和.求证Sn/n为等差数列
使用数学归纳法；设首项为a1,公差为d
当n=1时,S1=a1；当n=2时,S2/2=（a1+a1+d）/2=a1+d/2
当n=3时,S3/3=（a1+a1+d+a1+2d）/3=a1+d.
此时S3/3-S2/2=S2/2-S1=d/2
假设当n=k时,Sk/k-S(k-1)/(K-1)=d/2
当n=k+1时,
S(k+1)/(k+1)-Sk/k
=〔(k+1)a1+(d+2d+...+kd)〕/(K+1)-〔ka1+d+2d+...+(k-1)d〕/k
=a1+kd/2-〔a1+(k-1)d/2〕=d/2
因此各项差都是d/2,为等差数列.
an为等差数列，则an=a1+(n-1)*d,sn=a1*n + n*(n-1)*d/2
sn/n=a1+(n-1)*(d/2)
sn/n为公差为d/2的等差数列
方法二:{an}成等差数列,则: s2,s4-s2,s6-s4也是等差数列。 s4-s2=8所以公差为6，s6-s4=8 6=14 s6=10 14=24 由S1，S2—S1，S3—S2成
证：
设等差数列{an}首项为a1,公差为d.
则由等差数列求和公式，得Sn=na1+n(n-1)d/2
Sn/n=a1+(n-1)d/2
Sn-1/(n-1)=a1+(n-2)d/2
S1/1=a1
Sn/n-Sn-1/(n-1)
=a1+(n-1)d/2-a1-(n-2)d/2=d/2，为定值。
数列{Sn/n}为首项是a1，公差是d/2的等差数列。
Sn为等差数列{An}的前n项和,则Sn=(a1+an)*n/2
Sn/n=(a1+an)/2=[a1+a1+(n-1)d]/2
Sn+1/(n+1)-Sn/n=(2a1+nd)/2-[2a1+(n-1)d]/2=d/2是常数。
所以{Sn/n}是等差数列。
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