请概率方面的达人多多指点,利用概率论的思想方法证明如下不等式,其中a大于零.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/07 21:37:26
请概率方面的达人多多指点,利用概率论的思想方法证明如下不等式,其中a大于零.
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为方便,首先只讨论积分:在区间[-a,a]积分e^((-x^2)/2)dx 记其值为V.
为以下讨论方便,正方形区域: -a<=x<=a, -a<=y <=a 记为D,
其外接圆区域: x^2 +y^2 <=2a^2 记为G.
则V^2 = {在区间[-a,a]积分e^((-x^2)/2)dx }^2
={在区间[-a,a]积分e^((-x^2)/2)dx }*{在区间[-a,a]积分e^((-y^2)/2)dy}
=在D上,e^[- (x^2+y^2)/2]dxdy 二重积分
=在G上,e^[- (x^2+y^2)/2]dxdy 二重积分
<在G上,e^[- (r^2)/2]rdsdr 极坐标系下的二重积分 (s 表示极角,r表示极径)
=在区间[0, 2pi]积分{在区间[0, a*根号2]积分e^[- (r^2)/2]rdr }
= 2pi*{在区间[0, a*根号2]积分e^[- (r^2)/2]rdr
= 2pi*{函数- e^[(-r^2)/2] 在r= a*根号2处的值 - 在r=0处的值}
=2pi*{- e^(-a^2)+1}=
=2pi*{1- e^(-a^2)}
即V^2< 2pi*{1- e^(-a^2)}
由于V>0,
故得:V<根号{ 2pi*{1- e^(-a^2)} }
从而,原式左端= (1/(根号(2pi))*V <(1/(根号(2pi))*根号{ 2pi*{1- e^(-a^2)} }=根号{1- e^(-a^2)} }
即:原式左端 <根号{1- e^(-a^2)} }
命题得到证明.