在△ABC中,∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E,延长AE交△ABC的外接圆于点D,且∠BDA=60°①求证：△BDE是等边三角形②若∠BDC=120°,猜想BDCE是怎样的四边形,并证明你的猜想；E不是圆心）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 04:46:16
在△ABC中,∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E,延长AE交△ABC的外接圆于点D,且∠BDA=60°①求证：△BDE是等边三角形②若∠BDC=120°,猜想BDCE是怎样的四边形,并证明你的猜想；E不是圆心）
在△ABC中,∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E,延长AE交△ABC的外接圆于点D,且∠BDA=60°
①求证：△BDE是等边三角形②若∠BDC=120°,猜想BDCE是怎样的四边形,并证明你的猜想；
E不是圆心）
在△ABC中,∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E,延长AE交△ABC的外接圆于点D,且∠BDA=60°①求证：△BDE是等边三角形②若∠BDC=120°,猜想BDCE是怎样的四边形,并证明你的猜想；E不是圆心）
证明：
1、
∵∠BDA、∠BCA所对应圆弧都为劣弧AB
∴∠BDA＝∠BCA
∵∠BDA＝60
∴∠BCA＝60
∵∠BAC+∠ABC+∠BCA＝180
∴∠BAC+∠ABC＝180-∠BCA＝180-60＝120
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠BAC/2
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE＝∠ABC/2
∵∠BED＝∠BAD+∠ABE
∴∠BED＝∠BAC/2+∠ABC/2＝（∠BAC+∠ABC）/2＝120/2＝60
∴∠BED＝∠BDA＝60
∴等边△BDE
2、
∵等边△BDE
∴∠EBD＝60,BE＝BD
∵∠BDC＝120
∴∠EBD+∠BDC＝180
∴BE∥DC
∵∠DBC、∠DAC所对应圆弧都为劣弧CD
∴∠DBC＝∠DAC
∵∠DCB、∠DAB所对应圆弧都为劣弧BD
∴∠DCB＝∠DAB
∵∠DAC＝∠DAB
∴∠DBC＝∠DCB
∴BD＝CD
∴BD＝CD＝BE
∴菱形BDCE
标注：∠CAE为∠1，∠EAB为∠2，∠ABE为∠3，∠EBC为∠4，∠CBD为∠5
(1)由角平分线AE、BE→∠1=∠2，∠3=∠4
由弧CD→∠1=∠5，于是∠1=∠2=∠5
又∠BED为△ABE的一个外角→∠ BED=∠2+∠3=∠2+∠4=∠5+∠4=∠EBD
∴BD=ED，又∠BDA=60°
∴△DBE为等边三角形
(2)若∠BDC=12...
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标注：∠CAE为∠1，∠EAB为∠2，∠ABE为∠3，∠EBC为∠4，∠CBD为∠5
(1)由角平分线AE、BE→∠1=∠2，∠3=∠4
由弧CD→∠1=∠5，于是∠1=∠2=∠5
又∠BED为△ABE的一个外角→∠ BED=∠2+∠3=∠2+∠4=∠5+∠4=∠EBD
∴BD=ED，又∠BDA=60°
∴△DBE为等边三角形
(2)若∠BDC=120°,则∠EDC=60°，
由(1)可知△DEC为等边三角形
∴EB=BD=DC=CE=DE，
∴四边形BDCE是菱形
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