Schur引理怎么证明任意复方阵A，存在酉阵 U使得A可对角化
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 14:39:32
Schur引理怎么证明任意复方阵A，存在酉阵 U使得A可对角化
Schur引理怎么证明
任意复方阵A，存在酉阵 U使得A可对角化
Schur引理怎么证明任意复方阵A，存在酉阵 U使得A可对角化
Schur定理: 任意nxn实矩阵A, 存在酉矩阵U与上三角阵R, 使得A=U*R*U(T) (U(T)表示将矩阵U共轭转置), R中的元素, 可能为复数.
(而且还可以进一步要求R的对角元素为矩阵A的特征值, 还可以按顺序排列.)
矩阵的QR分解定理: 任意nxn实矩阵A, 存在正交阵Q与上三角阵R, 使得A=Q*R
(证明用到数值分析中的Householder变换, 好像还有矩阵收缩技巧)
Schur定理的证明:
给定nxn实矩阵A, 可以求出A的n个特征值, 不妨设为c1,c2,...,cn(顺序没有要求). 我们假设存在上述的U与R, 只要将它们求出来了, 即可说明其存在性了, 同时也说明了其构造或求解的过程. 同时为了过程简略,设特征值互不相同. 特殊情况在最后再加以说明.
设A,U,R的元素分别为aij,uij,rij, 矩阵分块,列向量分别为ai,ui,ri.i,j=1,...n.
A=U*R*U(T)等价于A*U=U*R.
下面的过程, 只是为了解出U,R. 令R的对角元为c1,c2,...cn. 左下角的全为0, 只有右上角的(n^2-n)/2个待求变量. U中有n^2个变量.下面就求出这些变量,注意要利用另一个条件,就是矩阵U的性质(酉矩阵)
将矩阵作如下分块: A*(u1,u2,...un)=U*(r1,r2,...rn). 先看乘积后的第一列: A*u1=U*r1.
由于R为上三角阵, 且对角元为A的特征值, 所以列向量r1只有第一个元素为c1, 其余的全为0. 所以上式就可以化为: A*u1=c1*u1. u1为A的特征值c1所对应的特征向量, 当然存在, 可以求出来了. 再利用酉矩阵的性质(不同的列向量都正交,且为单位向量, 所以要将u1单位化. 这样, 得到U的第1列u1.
继续考察A*u2=U*r2
A*u2=r12*u1+r22*u2=r12*u1+c2*u2.
即: A*u2=r12*u1+c2*u2. 式中含有u2及r12共n+1个变数, 需要n+1个独立的方程才可解出. 然而, 上式含有n个方程, u1与u2垂直, u2单位长度, 共n+2个条件. 但在上式中, c2为A的特征值, 所以n个方程并不是相互独立的. 列出n+2个方程, 刚好可以解出u2与r12.
一般情况,考察A*uk=U*rk
A*uk=U*rk=r1k*u1+r2k*u2+...+r(k-1)k*u(k-1)+rkk*uk
A*uk=r1k*u1+r2k*u2+...+r(k-1)k*u(k-1)+ck*uk
与前面讨论类似, 共有uk中的n个变数和rk中的(k-1)个变数(r1k,r2k,...r(k-1)k), rkk=ck为已知的特征值. 所以共有(n+k-1)个变量. 上面的式子中含有n个方程, 利用u1,u2,...u(k-1)与uk垂直, 可得(k-1)个方程, 再加上uk为单位向量, 共(n+k)个方程, 正好可以解出所有的(n+k-1个)变量.
如此继续, 直到第n步的A*un=U*rn. 这样便可以解出所有的rij与uk, 矩阵U与R便可以确定了.
证毕.
注: 1. 若出现重特征值, 比如ck为m重特征值, 则按上面方法求出的uk会有m个线性无关的解. 将正交性, 单位长度的条件都用上, 仍可以解出来. 这些向量的求法与高等代数中求若当标准形, 求特征值特征向量极为相似.
2. 若A为对称矩阵, 则R必为对角矩阵, 而且正是A的若当标准形. A=U*R*U(T), 则R=U(T)*A*U, R(T)=R, 上三角形矩阵共轭转置不变, 则必为对角阵.
另外,也可以试讨论U与R的唯一性问题.