集合A由适合以下性质函数f(x)构成：对于定义域内任意两个不相等的实数x1,x2都有1/2[f(x1)+f(x2)]>f[（x1+x2)/2]1.设f(x)∈A且当定义域为（0,+∞）,值域为（0,1）,且f(1)>1/2出一个满足以上条件的函数f(x

集合A由适合以下性质函数f(x)构成：对于定义域内任意两个不相等的实数x1,x2都有1/2[f(x1)+f(x2)]>f[（x1+x2)/2]1.设f(x)∈A且当定义域为（0,+∞）,值域为（0,1）,且f(1)>1/2出一个满足以上条件的函数f(x
集合A由适合以下性质函数f(x)构成：对于定义域内任意两个不相等的实数x1,x2都有1/2[f(x1)+f(x2)]>f[（x1+x2)/2]
1.设f(x)∈A且当定义域为（0,+∞）,值域为（0,1）,且f(1)>1/2出一个满足以上条件的函数f(x)的解析式,并给与证明

集合A由适合以下性质函数f(x)构成：对于定义域内任意两个不相等的实数x1,x2都有1/2[f(x1)+f(x2)]>f[（x1+x2)/2]1.设f(x)∈A且当定义域为（0,+∞）,值域为（0,1）,且f(1)>1/2出一个满足以上条件的函数f(x
因为据题意可得f(x)为凹函数,即函数图象开口向上,且在其定义域内连续.
因为当x∈（0,+∞）,且f（x）∈（0,1）,所以可以定义一个函数f(x)=1/x它的定义域值域都满足,而且f(1)=1>0.5
证明：取定义域内任意两不相等实数x1,x2；则1/2[f(x1)+f(x2)]-f[(x1+x2)/2]=1/2(1/x1 + 1/x2)-1/[(x1+x2)/2]=(x1+x2)/(2*x1*x2)-2/(x1+x2)=[(x1+x2)^2-4*x1*x2]/[(2*x1*x2)*(x1+x2)]=[(x1-x2)^2]/[(2*x1*x2)*(x1+x2)]>0
所以原式得证

f(x)=2/(x+2) (x>0) 。
显然，函数定义域为 R+ ，值域为（0，1），且 f(1)=2/3>1/2 。
1/2*[f(x1)+f(x2)]=1/2*[2/(x1+2)+2/(x2+2)]=(x1+x2+4)/[(x1+2)(x2+2)] ，
而 f[(x1+x2)/2]=2/[(x1+x2)/2+2]=4/(x1+x2+4) ，
由于 x1、x2 ...

全部展开

f(x)=2/(x+2) (x>0) 。
显然，函数定义域为 R+ ，值域为（0，1），且 f(1)=2/3>1/2 。
1/2*[f(x1)+f(x2)]=1/2*[2/(x1+2)+2/(x2+2)]=(x1+x2+4)/[(x1+2)(x2+2)] ，
而 f[(x1+x2)/2]=2/[(x1+x2)/2+2]=4/(x1+x2+4) ，
由于 x1、x2 不相等，且均为正数，
所以 (x1+x2+4)^2=[(x1+2)+(x2+2)]^2>4(x1+2)(x2+2) （均值不等式），
所以 (x1+x2+4)/[(x1+2)(x2+2)]>4/(x1+x2+4) ，
即 1/2*[f(x1)+f(x2)]>f[(x1+x2)/2] 。

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