已知△ABC三边是连续正整数并且最大角是最小角的两倍,则此三角形三边的长请详解
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/07 20:57:31
已知△ABC三边是连续正整数并且最大角是最小角的两倍,则此三角形三边的长请详解
已知△ABC三边是连续正整数并且最大角是最小角的两倍,则此三角形三边的长
请详解
已知△ABC三边是连续正整数并且最大角是最小角的两倍,则此三角形三边的长请详解
设此三角形三个角为α、β、2α,且α4α
3α+β=180°
β1.414
所以0.618>2/a>0.414
a=4
所以三边为4,5,6
根据正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC
由题意设b=a+1 c=a+2 C=2A
a*sinC=c*sinA 代入得
a*sin2A=(a+2)sinA===>sin2A/sinA=(a+2)/a 而 sin2A=2sinAcosA
∴cosA=(a+2)/2a
根据余弦定理
cosA=(b²+c²-a²)/2bc b=a+1 c=a+2
整理得:a²-3a+4=0 ∴a=4 ,b=5,c=6
设边长为n-1,n ,n+1,最小角A 正弦定理（n+1）/Sin2A=（n-1）/SinA 由余弦定理写出方程cosA=(n2+(n+1)2-(n-1)2)/2n(n+1)解出n=5（好像是再验算下）
给出一个不会三角函数就可以完全解决的简单解法
假设∠C=2∠B=α，延长BC，过A点引线交BC延长线于D，使得∠DAC=α
不妨设最短边为X
∵大角对大边
∴AB>AC>BC
∵三边是三个连续正整数
∴AB=x+2, AC=x+1，BC=x
∵∠ACB=2α，∠CAD=α
∴∠D=α
∴△ACD∽△DAB
∴DB...
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给出一个不会三角函数就可以完全解决的简单解法
假设∠C=2∠B=α，延长BC，过A点引线交BC延长线于D，使得∠DAC=α
不妨设最短边为X
∵大角对大边
∴AB>AC>BC
∵三边是三个连续正整数
∴AB=x+2, AC=x+1，BC=x
∵∠ACB=2α，∠CAD=α
∴∠D=α
∴△ACD∽△DAB
∴DB/AD=AB/CD(相似三角形对应边比等)
即 2x+1/x+2=x+2/x+1
解得： x=-1或4
∵三角形边长是正整数
∴x=4
∴三角形三边为4、5、6
解答完毕
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