在三角形ABC中,角C等于90度,D是AB的中点,E,F分别在AC,BC上,且角EDF=90度,求证：EF2=AE2+BF2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 05:35:53
在三角形ABC中,角C等于90度,D是AB的中点,E,F分别在AC,BC上,且角EDF=90度,求证：EF2=AE2+BF2
在三角形ABC中,角C等于90度,D是AB的中点,E,F分别在AC,BC上,且角EDF=90度,求证：EF2=AE2+BF2
在三角形ABC中,角C等于90度,D是AB的中点,E,F分别在AC,BC上,且角EDF=90度,求证：EF2=AE2+BF2
这道题似乎是初中难度,但我证明时却用了正弦定理,高中知识.
证明如下：
∵ΔADE中,AE/sin∠ADE=DE/sin∠A=AD/sin∠AED
∴AE²=(AD·sin∠ADE/sin∠AED)²
∵ΔBDF中,BF/sin∠BDF=DF/sin∠B=BD/sin∠BFD
∴BF²=(BD·sin∠BDF/sin∠BFD)²
∴AE²+BF²=(AD·sin∠ADE/sin∠AED)²+(BD·sin∠BDF/sin∠BFD)²
∵∠AED+∠BFD=180° ∴sin∠AED=sin∠BFD
∵∠ADE+∠BDF=90° ∴sin²∠BDF＋sin²∠ADE=1
∴AE²+BF²=(AD·sin∠ADE/sin∠AED)²+(BD·sin∠BDF/sin∠BFD)²
=(AD/sin∠AED)²
=(AD/sin∠CED)²
∵D是AB中点 ∴AD=BD=CD
∴AE²+BF²=(CD/sin∠CED)²
∵∠EDB=∠ECB=90° ∴EDCB在同一圆上,CD/sin∠CED为外接圆直径,即EF
∴AE²+BF²=(CD/sin∠CED)²=EF²
楼主如果对正弦定理不理解,可以看看百科.看我打了这么多,符号这么难打的都写了,给分吧
延长ED到G，使DE=DG
因为D是AB中点
所以AD=BD，
角EDA=角BDG
得到三角形ADE全等于三角形BDG
所以角A=角DBG，AE=BG，ED=DG
所以AC‖BG
得到角CBG=180度-角C=90度
再连接GF
因为DF=DF，ED=DG，角FDE=角FDG
所以三角形EDF全等...
全部展开
延长ED到G，使DE=DG
因为D是AB中点
所以AD=BD，
角EDA=角BDG
得到三角形ADE全等于三角形BDG
所以角A=角DBG，AE=BG，ED=DG
所以AC‖BG
得到角CBG=180度-角C=90度
再连接GF
因为DF=DF，ED=DG，角FDE=角FDG
所以三角形EDF全等于三角形GDF
所以EF=FG
又因为在直角△FBG中 FG平方=FB平方+BG平方
所以EF平方=AE平方+BF平方
收起
过E作AB边的垂线交点为G，过F作AB边的垂线交点为H，
因为，三角形AGE相似于三角形FHB，三角形DGE相似于三角形FHD
所以，AG/FH=GE/HB 即AG*HB=GE*FH
DG/FH=GE/HD 即DG*HD=GE*FH
所以 AG*HB=DG*DH 即AG/DG=DH/BH
又因为AD=DB
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过E作AB边的垂线交点为G，过F作AB边的垂线交点为H，
因为，三角形AGE相似于三角形FHB，三角形DGE相似于三角形FHD
所以，AG/FH=GE/HB 即AG*HB=GE*FH
DG/FH=GE/HD 即DG*HD=GE*FH
所以 AG*HB=DG*DH 即AG/DG=DH/BH
又因为AD=DB
所以 AG=DH GD=BH
据勾股定理FD2=BF2-BH2+DH2 ED2= AE2-AG2=DG2
二式相加EF2=BF2+AE2
收起