关于三角形内心的性质,数学盲自重...O为三角形ABC的内切圆的圆心,a.b.c为角A,角B 角C所对的边的边长,求证：a乘以向量OA+b乘以向量OB+c乘以向量OC=向量0数学盲请自重...

关于三角形内心的性质,数学盲自重...O为三角形ABC的内切圆的圆心,a.b.c为角A,角B 角C所对的边的边长,求证：a乘以向量OA+b乘以向量OB+c乘以向量OC=向量0数学盲请自重...
关于三角形内心的性质,数学盲自重...
O为三角形ABC的内切圆的圆心,a.b.c为角A,角B 角C所对的边的边长,求证：a乘以向量OA+b乘以向量OB+c乘以向量OC=向量0
数学盲请自重...

关于三角形内心的性质,数学盲自重...O为三角形ABC的内切圆的圆心,a.b.c为角A,角B 角C所对的边的边长,求证：a乘以向量OA+b乘以向量OB+c乘以向量OC=向量0数学盲请自重...
延长AO交BC于D,aOA=aOD+aDA;bOB=bOD+bDB;cOC=cOD+cDC;
从而我们只需证明(a+b+c)OD+aDA+bDB+cDC=0;而运用角平分线定理得b/c=DC/DB（这里为长度比值）,且DB,DC方向相反所以bDB+cDC=0；下面只需证明(a+b+c)OD+aDA=0；即(a+b+c)OD+aDO+aOA=0,亦即(b+c)OD+aOA=0,而OA与OD方向相反所以我们只需证明(b+c)/a=OA/OD(这里为长度比值)；
再次运用角平分线定理OA/OD=AC/DC=AB/DB运用合比性质得OA/OD=（b+c）/a证完!

O为三角形ABC的内切圆的圆心，a.b.c为角A,角B 角C所对的边的边长，求证：a乘以向量OA+b乘以向量OB+c乘以向量OC=向量0 说明:AB表示向量,|AB|或者c表示长度或者边. 先用AB,AC表示AO, 延长AO交边BC于D则 AD为角平分线,根据角平分线定理得 |CD|÷|DB|=|AC|÷|AB|=b/c, 又|CD|+|DB|=a, 解得 |BD|=ac...

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O为三角形ABC的内切圆的圆心，a.b.c为角A,角B 角C所对的边的边长，求证：a乘以向量OA+b乘以向量OB+c乘以向量OC=向量0 说明:AB表示向量,|AB|或者c表示长度或者边. 先用AB,AC表示AO, 延长AO交边BC于D则 AD为角平分线,根据角平分线定理得 |CD|÷|DB|=|AC|÷|AB|=b/c, 又|CD|+|DB|=a, 解得 |BD|=ac/(b+c), BD/BC=c/(b+c) BD=c/(b+c)*BC, AD=AB+BD=AB+c/(b+c)*BC........① 同样根据角平分线定理 |AO|÷|OD|=|AB|÷|BD| 于是|AO|÷|AD|=|AB|÷(|BD|+|AB|)=c/(ac/(b+c)+c)=1/(a/(b+c)+1)=(b + c)/(a + b + c), 于是 AO =(b + c)/(a + b + c)*AD =(b + c)/(a + b + c)*(AB+c/(b+c)*BC) =(BC*c + AB*(b + c))/(a + b + c), 同理 BO=(CA*a + BC*(c + a))/(a + b + c) CO=(AB*b + CA*(a + b))/(a + b + c) 于是 a*AO+b*BO+c*CO =a*(BC*c + AB*(b + c))/(a + b + c)+b*(CA*a + BC*(c + a))/(a + b + c)+c*(AB*b + CA*(a + b))/(a + b + c) =(a b + a c + b c)*(AB + BC + CA)/(a + b + c) 考虑到AB,BC,CA构成了闭合三角形,所以(AB + BC + CA)=0, 于是 a*AO+b*BO+c*CO=0 于是a*OA+b*OB+c*OC=0

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唉，这不就是公式啊！要验证公式啊！有用吗？你二边一除就没了吗？

延长AO,作BE垂直于AO，垂足E
作CF垂直于AO，垂足F
EB,FC分别为OB，OC在垂直于OA方向上的分向量
因为O为内心，所以角BAE=角CAF，所以|AB|/|BE|=|AC|/|CF|
所以bEB+cFC=0向量
所以bOB+cOC与OA共线
所以aOA+bOB+cOC平行于OA
同理aOA+bOB+cOC平行于OB...

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延长AO,作BE垂直于AO，垂足E
作CF垂直于AO，垂足F
EB,FC分别为OB，OC在垂直于OA方向上的分向量
因为O为内心，所以角BAE=角CAF，所以|AB|/|BE|=|AC|/|CF|
所以bEB+cFC=0向量
所以bOB+cOC与OA共线
所以aOA+bOB+cOC平行于OA
同理aOA+bOB+cOC平行于OB
aOA+bOB+cOC平行于OC
所以aOA+bOB+cOC=0向量

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