已知正三棱锥S-ABC,一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上,另一底面在正三棱锥的底面上,若正三棱锥的高为15cm,底面边长为12cm,内接正三棱锥的侧面积为120cm²,（1）求正三
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 01:36:37
已知正三棱锥S-ABC,一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上,另一底面在正三棱锥的底面上,若正三棱锥的高为15cm,底面边长为12cm,内接正三棱锥的侧面积为120cm²,（1）求正三
已知正三棱锥S-ABC,一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上,另一底面在正三棱锥的底面上,若正三棱锥的高为15cm,底面边长为12cm,内接正三棱锥的侧面积为120cm²,
（1）求正三棱柱的高
（2）求棱柱上底面截得小棱锥与原棱锥侧面积的比
（原题无图）
已知正三棱锥S-ABC,一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上,另一底面在正三棱锥的底面上,若正三棱锥的高为15cm,底面边长为12cm,内接正三棱锥的侧面积为120cm²,（1）求正三
令三棱锥的高为H,底面边长为b,内接正三棱柱的高为h,底面边长为a
显然,内接正三棱柱的底面与三棱锥的底面相似,并且相似比等于(H-h):H
∴ (15-h):15=a:12
整理得：5a+4h=60 ①
由侧面积条件得
3ah=120
或 ah=40 ②
由①得 h=15-(5/4)a ③
把③代入②得
a[15-(5/4)a]=40
整理得
a²-12a+32=0
解得 a1=4,a2=8
分别代入③得
h1=10,h2=5
即内接正三棱柱的高为10cm或者2cm.
：（1）设内接正三棱柱的高为 x，底面的边长为 a，
由直角三角形相似得 15-x15=23×
32a23×
32×12，
∴a=60-4x5，内接正三棱柱的侧面积为：120=3a•x=360-4x5 x，
x2-15x+50=0，∴x=10 或 x=5．
∴正三棱柱的高为10cm或5cm．
（2）两个棱锥的侧面积之比等于对应的相...
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：（1）设内接正三棱柱的高为 x，底面的边长为 a，
由直角三角形相似得 15-x15=23×
32a23×
32×12，
∴a=60-4x5，内接正三棱柱的侧面积为：120=3a•x=360-4x5 x，
x2-15x+50=0，∴x=10 或 x=5．
∴正三棱柱的高为10cm或5cm．
（2）两个棱锥的侧面积之比等于对应的相似比的平方，相似比为 15 -x15，
当x=10 时，相似比为13，故两个棱锥的侧面积之比等于19，
当x=5时，相似比为23，故两个棱锥的侧面积之比等于49，
故棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比为：1：9或4：9．
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