已知直线l过点p(3,4),若直线l与x轴,y轴的正半轴分别相交与点A,B,求三角形AOB的面积的最小值.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 21:41:55
已知直线l过点p(3,4),若直线l与x轴,y轴的正半轴分别相交与点A,B,求三角形AOB的面积的最小值.
已知直线l过点p(3,4),若直线l与x轴,y轴的正半轴分别相交与点A,B,求三角形AOB的面积的最小值.
已知直线l过点p(3,4),若直线l与x轴,y轴的正半轴分别相交与点A,B,求三角形AOB的面积的最小值.
设直线l在x轴与y轴上的截距分别为a和b (a>0,b>0)
那么直线l的方程为:x/a+y/b=1,A(a,0),B(0,b)
而点P(3,4)在直线l上,那么3/a+4/b=1
|OA|=a,|OB|=b
S△OAB=1/2*|OA|*|OB|
=1/2*ab
=1/2*ab*(3/a+4/b) (因为3/a+4/b=1)
=1/2*(3b+4a)
=1/2*(3b+4a)*(3/a+4/b) (因为3/a+4/b=1)
=1/2*(9b/a+12+12+16a/b)
=1/2*(9b/a+16a/b+24)
≥1/2*(2√144+24)
=24 (当且仅当9b/a=16a/b,即a=6,b=8时取等)
所以S△OAB的最小值为24
用截距式方程把条件表示出来,然后再用不等式求出最小值
l:y-4=k(x-3)
k<0
x=0,y=4-3k
B(0,4-3k)
y=0,x=3-4/k
A(3-4/k,0)
S=1/2OA*OB=1/2*(3-4/k)*(4-3k)
=1/2(12-9k-16/k+12)
=1/2(24-9k-16/k)=1/2(24-(9k+16/k))
t=9k+16/k<=-2*12=-24(k<0)
9k=16/k=-12
k=-12/9=-4/3
Smin=1/2*(24-(-24))=1/2*(24+24)=1/2*48=24
三角形AOB面积的最大值是24