湖北省八市2011年高三年级三月调考

湖北省八市2011年高三年级三月调考
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湖北省八市2011年高三年级三月调考
2011年湖北省八市高三三月联考 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题（5分×10=50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D D C C C A D 二、填空题（5分×5=25分） 11．3＋i 12． 13． 14． 15．20 三、解答题（75分,答案仅供参考,其它解法酌情给分） 16（Ⅰ）由题设可得 ,化简得 ① （2分） ∴ ② （4分） 联立①②可得 （6分） （Ⅱ）由题设得： ∴ （9分） ∴ （12分） 17（Ⅰ）由1＋cos2A―cos2B―cos2C＝2sinB·sinC得 （2分） 由正弦定理得, （4分） 由余弦定理得, ∵0＜A＜π ∴ （6分） （Ⅱ） （8分） 由（Ⅰ）得,∴ ∴ （10分） ∵0＜B＜ ∴ 令即时, 取得最大值 ． （12分） 18（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF,且平面ABCD 平面ABEF＝AB EB⊥AB ∴EB⊥平面ABCD 又MN∥EB ∴MN⊥面ABCD． （3分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠EDB为DE与平面ABCD所成的角 ∴∠EDB＝30 o 又在Rt△EBD中,EB＝2MN＝2,∠EBD＝90 o ∴DE＝ 连结AE,可知∠DEA为DE与平面ABEF所成的角 ∴∠DEA＝45 o （5分） 在Rt△DAE中,∠DAE＝90 o ∴AE＝DE·cos∠DEA＝2 在Rt△ABE中, ． （7分） （Ⅲ）方法一：过B作BO⊥AE于O点,过O作OH⊥DE于H,连BH ∵AD⊥平面ABEF BO 面ABEF ∴BO⊥平面ADE ∴OH为BH在平面ADE内的射影 ∴BH⊥DE 即∠BHO为所求二面角的平面角 （9分） D C N M B A E F O H 在Rt△ABE中,BO＝ 在Rt△DBE中, 由BH·DE＝DB·OE得BH＝ ∴sin∠BHO＝ ． （12分） 方法二：由题设及（Ⅰ）可得AF⊥AB,AF⊥AD,AB⊥AD 如图分别以射线AF、AB、AD为x、y、z轴建立空间直角坐标系A—xyz 由（Ⅱ）知,AF＝BE＝2,AB＝EF＝CD＝2,AD＝BC＝2 ∴A(0,0,0) B(0,2,0) C(0,2,2 ) D(0,0,2 ) E(2,2,0) F(2,0,0)（9分） 在正方形ABEF中,BF⊥AE,又AD⊥平面ABEF ∴BF⊥平面ADE ∴ 是平面ADE的法间量, 设平面BDE的法向量为 由, 及⊥,⊥得 ∴ ∴ 取z＝1 D C N M B A E F x z y 得平面BDE的一个法向量为 设二面角A―DE―B的大小为α 则 ∴． （12分） 19由得 （2分） （Ⅰ）∵f(x)在 内为单调增函数 ∴在 上恒成立． 又a>0 ∴在 上恒成立 ∴ ∴ （5分） （Ⅱ）由得x 1 =0, （a>0） ∴当时,由得, 由得 ∴f(x)在 处取得极小值．（不合题意） （7分） 当时, 对 恒成立． ∴f(x)在定义域内无极小值． （9分） 当时,由得 由得 可得函数f(x)在x=0处取极小值时, ． （12分） 20（Ⅰ）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零 所以 整理得 （λ≠0,x≠±1） （3分） （Ⅱ）①当时,轨迹C为中心在原点,焦点在x轴上的双曲线（除去顶点） ②当时,轨迹C为中心在原点,焦点在x轴上的椭圆（除去长轴 两个端点） ③当时,轨迹C为以原点为圆心,1的半径的圆除去点(－1,0),(1,0) ④当时,轨迹C为中心在原点,焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个 端点） （7分） （Ⅲ）当时,轨迹C的椭圆 （x≠±1） 由题意知,l的斜率存在 设l的方程为 ,代入椭圆方程中整理得 （*） 设,则x 1 ,x 2 的方程（*）的两个实根 ∴, （9分） ∴ （11分） 当k＝0时,取“＝” ∴k＝0时,△OAB的面积取最大值为 ． （13分） 21（Ⅰ）证明：由得 ① ② ∴即 ,且 ∴数列 是首项为 ,公比为 的等比数列． （3分） （Ⅱ）由(Ⅰ)可知 ∴ 由得（5分） 易得 是关于 的减函数 ∴,∴ （8分） （Ⅲ）由得 ∴ ∴ （10分） 下面用数学归纳法证明不等式： 若 为正数,则（*） 1 o 当时,∵ ∴(1－x 1 )(1－x 2 )＝1－(x 1 ＋x 2 )＋x 1 x 2 ＞1－(x 1 ＋x 2 ) 2 o 假设当n＝k(k≥2)时,不等式成立,即若x 1 ,x 2 ,……,x k 为正数,则 (1－x 1 )(1－x 2 )…(1－x k )＞1－(x 1 ＋x 2 …＋x k ) 那么(1－x 1 )(1－x 2 )…(1－x k )(1－x k ＋１ )＞[1－(x 1 ＋x 2 …＋x k )](1－x k ＋１ ) ＞[1－(x 1 ＋x 2 ＋…＋x k ＋x k ＋１ )] 这就是说当n＝k＋1时不等式成立． （12分） 根据不等式（*）得： ∴ （14分） 命题人：仙桃教科院 曹时武 仙桃一中 肖 辉 仙桃中学 胡生淼 十堰教科院 程世平 荆门教科院 方延伟