求根号x^2+y^2的二重积分,其中D是圆域x^2+y^2

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/25 02:27:06

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求根号x^2+y^2的二重积分,其中D是圆域x^2+y^2<=ax
这个题的塞他为什么是-π/2到π/2

求根号x^2+y^2的二重积分,其中D是圆域x^2+y^2
圆域x^2+y^2<=ax,（x-a/2)^2+y^2<=(a/2)^2,位于1,4象限
故-π/2《θ《π/2,0《r《acosθ

全部展开

x^2+y^2≤ax,(x-a/2)^2+y^2=1/4*a^2,
化为极坐标，r= a*cosθ,
x=a*cosθ^2,y=a*cosθ*sinθ, 积分区间：-π/2≤θ≤π/2, 0≤r≤a*cosθ
原式=∫∫a*cosθ*rdrdθ=∫cosθdθ∫a*rdr=∫cosθ*a*1/2* a^2*cosθ^2*dθ
=1/2* a^3*∫cosθ^3*dθ
=1/2* a^3*∫cosθ^2*dsinθ
=1/2* a^3*∫(1-sinθ^2)*dsinθ
=1/2* a^3*(sinθ-1/3* sinθ^3) (-π/2,π/2)
=1/2* a^3*(4/3)
=2/3* a^3

因为D圆与Y轴相切，所以，-π/2≤θ≤π/2

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