线性代数证明题,第二小题,证明基础解系
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 10:07:51
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证明
因为ηi(i=1,s) 是Ax=b的解
所以 Aηi=b,Aη0=b
两个式子相减得到A(ηi-η0)=b-b=0
所以ηi-η0(i=1...s) 是Ax=0的解
下面证明ηi-η0(i=1...s) 是线性无关的.
设k1(η1-η0)+k2(η2-η0)+k3(η3-η0)+.+ks(ηs-η0)=0
展开整理后得到k1η1+k2η2+.+ksηs-(k1+k2+...+ks)η0=0
根据η0 η1.ηs线性无关,所以k1=k2=...=ks=0
所以η1-η0,η2-η0.ηs-η0是线性无关的.
且r(A)=n-s,所以Ax=0的基础解系中含有s个线性无关向量.
所以η1-η0,η2-η0.ηs-η0是Ax=0的基础解系.