几何题 正方形正方形ABCD的两条对角线相交于点O,E为OD的中点,延长AE交DC于G.求证：DG=1/2GC；设F是BC的中点,问：线段AE与EF的关系如何?证明你的猜想.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 13:29:48
几何题 正方形正方形ABCD的两条对角线相交于点O,E为OD的中点,延长AE交DC于G.求证：DG=1/2GC；设F是BC的中点,问：线段AE与EF的关系如何?证明你的猜想.
几何题 正方形
正方形ABCD的两条对角线相交于点O,E为OD的中点,延长AE交DC于G.求证：DG=1/2GC；设F是BC的中点,问：线段AE与EF的关系如何?证明你的猜想.
几何题 正方形正方形ABCD的两条对角线相交于点O,E为OD的中点,延长AE交DC于G.求证：DG=1/2GC；设F是BC的中点,问：线段AE与EF的关系如何?证明你的猜想.
求证：DG=1/2GC：过O点作OM平行于EG,交DC与M点,则在三角形ACG中,因为O为AC中点,所以M为GC中点,即GM=MC,又在三角形DOM中,因为E为DO中点,故G为DM中点,即DG=GM,所以DG=1/2GC
(1)因为AB//CD，DE/BE=DG/AB.
因为O是BD中点，E是OD中点，所以DE/BE=1/3
所以DG/AB=1/3, 所以DG/CD=1/3
所以DG=1/2GC.
(2)设CF中点为N，连结EN
因为BE/BD=BN/BC=3/4，所以EN//CD
所以EN⊥CF
又因为N为CF中点，所以EN为CF垂直平分线，所以CE=FE ...
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(1)因为AB//CD，DE/BE=DG/AB.
因为O是BD中点，E是OD中点，所以DE/BE=1/3
所以DG/AB=1/3, 所以DG/CD=1/3
所以DG=1/2GC.
(2)设CF中点为N，连结EN
因为BE/BD=BN/BC=3/4，所以EN//CD
所以EN⊥CF
又因为N为CF中点，所以EN为CF垂直平分线，所以CE=FE （1）
因为EO⊥AC，且O为AC中点，所以EO为AC垂直平分线，所以AE=CE （2）
所以AE=EF。
收起
ba tu fa guo lai
n如图作AB的中点M，AM的中点N，连结OM、EM、EN 由EO=EO，∠EOM=∠EOF=135度，OM=OF(正方形MOFB的边)得 ΔEOM≌ΔEOF，所以EF=EM ① 由AN=MN，EN垂直AM 得 AE＝ME ② 由 ① ②知AE＝EF 由上可知∠AEN=∠MEN, ∠MEO=∠FEO, 而∠MEN+∠MEO＝∠MEO=45度 所以∠AEF＝90度，即AE垂直EF 所以AE与EF垂直且相等。