若函数f(x)在R上恒有f(x)=f(x+1)+f(x-1),且f(1)=2,求f(2014)的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 18:37:51
若函数f(x)在R上恒有f(x)=f(x+1)+f(x-1),且f(1)=2,求f(2014)的值
若函数f(x)在R上恒有f(x)=f(x+1)+f(x-1),且f(1)=2,求f(2014)的值
若函数f(x)在R上恒有f(x)=f(x+1)+f(x-1),且f(1)=2,求f(2014)的值
f(2)=f(3)+f(1)
f(3)=f(4)+f(2)
相加,得
f(2)+f(3)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)
f(1)+f(4)=0
f(1)=-f(4)
同理
f(4)=-f(7)
即f(1)=f(7)=f(13)=.
周期为6
2014÷6=335.4
即f(2014)=f(4)=-2
f(x)=f(x+1)+f(x-1), f(x+1)=f(x)-f(x-1),
所以 f（x） = f（x-1）-f（x-2）=f（x-2）-f（-3）-f（x-2）= - f（x-3） 同理-f（x）=f（x-3）
所以f（2012）=-f（2009）=f（2006）.=。。。。=（-1）^670* f（2）
又因为f（1）=f（2）+f（0） 所以f（...
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f(x)=f(x+1)+f(x-1), f(x+1)=f(x)-f(x-1),
所以 f（x） = f（x-1）-f（x-2）=f（x-2）-f（-3）-f（x-2）= - f（x-3） 同理-f（x）=f（x-3）
所以f（2012）=-f（2009）=f（2006）.=。。。。=（-1）^670* f（2）
又因为f（1）=f（2）+f（0） 所以f（2）=1
f（2012）=（-1）^670 *f（2）=1
另外一种方法 ：f(x)=f(x+1)+f(x-1), f(x+1)=f(x)-f(x-1),
所以 f（x） = f（x-1）-f（x-2）=f（x-2）-f（-3）-f（x-2）= - f（x-3）
f（x）=f（x-6） 所以函数的周期为T=6 f（x）=f（x-6n） n为整数
f（2012）=f（2012-66*335）=f（2）=1
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