导数的实际应用（生活中的优化问题）!圆柱形金属饮料罐容积一定时,它的高与半径应怎样选择,才能使所用材料最省?

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/18 08:28:41
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导数的实际应用（生活中的优化问题）!圆柱形金属饮料罐容积一定时,它的高与半径应怎样选择,才能使所用材料最省?
导数的实际应用（生活中的优化问题）!
圆柱形金属饮料罐容积一定时,它的高与半径应怎样选择,才能使所用材料最省?

导数的实际应用（生活中的优化问题）!圆柱形金属饮料罐容积一定时,它的高与半径应怎样选择,才能使所用材料最省?
设高h,半径r, V=hπr^2 ,h=V/(πr^2)上下面积和为s1=2πr^2 ,侧面积s2=2πrh s=s1+s2=2πrh +2πr^2=2V/r + 2πr^2 s'=-2V/r^2+4πr 最值在s'=0取 V=4πr^3 所以h=4r

设半径为r，高为h，有：
S=2r²π+2πhr
=2rπ(rπ+hπ)
则当2rπ=rπ+hπ时，有Smin，即用料最省
此时有：
2rπ=r+h
h=r(2π-1)
故当h:r=(2π-1):1时，用料最省

设半径为r，高为h
圆柱体容积v=π*r^2*h 即 容积一定 则 v是固定值
材料即求表面积s=2π*r^2+2πrh=2π*r^2+2v/r 求最小表面积S
对s求导 S'=4π*r-2V/(r*r)=0时
r=3次根号下(V/2π) h=v/（π*r^2）=

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