如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F,求证：BE⊥CD
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 02:18:50
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F,求证：BE⊥CD
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F,求证：BE⊥CD
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F,求证：BE⊥CD
证明：因为角ACB=90度
因为DE垂直AB于D
所以角BDE=90度
所以角BDE+角ACB=180度
所以C.E.D.B四点共圆
所以解CEB=角CDB
因为BD=BC
所以角CDB=角BCD
因为角ACB=角ECF+角BCD=90度
所以角CEB+角ECF=90度
因为角ECF+角CEB+角EFC=180度
所以角EFC=90度
所以BE垂直CD
∵DE⊥AB ,∴∠BDE=90°
又∵∠ACB=90°，∴∠BDE=∠ACB;
又因为BD=BC,BE=BE,
所以△ECB≡△BDE;
∴∠DBE=∠CBE;
又∵DB=BC,BF=BF
∴△DBF≡△CBF;
∴∠DFB=∠CFB
又因为∠DFB+∠CFB=180°；
所以∠DFB=∠CFB=90°
所以BE⊥CD.
∵BD=BC（已知）
BE=BE（公共边）
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL）
∴角CBE=角DBE
（全等三角形对应角相等）
∴BE是角CBD的角平分线
∵BD=BC
∴△CBD是等腰三角形
∴BF是△CBD的高
∴CD⊥BE
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：首先根据HL证明Rt△ECB≌Rt△EDB，得出∠EBC=∠EBD，然后根据等腰三角形底边上的高与顶角的平分线重合即可证明．证明：∵ED⊥AB，
∴∠EDB=90°．
在Rt△ECB和Rt△EDB中，
∵EB=EBCB=DB，
∴Rt△ECB≌Rt△EDB（HL），
∴∠EBC=∠EBD，<...
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考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：首先根据HL证明Rt△ECB≌Rt△EDB，得出∠EBC=∠EBD，然后根据等腰三角形底边上的高与顶角的平分线重合即可证明．证明：∵ED⊥AB，
∴∠EDB=90°．
在Rt△ECB和Rt△EDB中，
∵EB=EBCB=DB，
∴Rt△ECB≌Rt△EDB（HL），
∴∠EBC=∠EBD，
又∵BD=BC，
∴BF⊥CD，即BE⊥CD．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，得出∠EBC=∠EBD，是解题的关键．
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