（2003年山东省数学竞赛题）：在18*18格的方格纸上的每一个方格中均填入一个彼此不相等的正整数,求证：无论哪种填法,至少有两对相邻的小方格（有一条公共的两个小方格称为一对相邻小
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 09:26:01
（2003年山东省数学竞赛题）：在18*18格的方格纸上的每一个方格中均填入一个彼此不相等的正整数,求证：无论哪种填法,至少有两对相邻的小方格（有一条公共的两个小方格称为一对相邻小
（2003年山东省数学竞赛题）：在18*18格的方格纸上的每一个方格中均填入一个彼此不相等的正整数,求证：无论哪种填法,至少有两对相邻的小方格（有一条公共的两个小方格称为一对相邻小方格）,每对相邻的两小方格中所填之数的差均不小于10.
（2003年山东省数学竞赛题）：在18*18格的方格纸上的每一个方格中均填入一个彼此不相等的正整数,求证：无论哪种填法,至少有两对相邻的小方格（有一条公共的两个小方格称为一对相邻小
先看下图,18×18的方格共需要填写324个数字,给最小的数字命名为A,最大的数字命名为B,则B-A≥324-1=323.
①假设A和B分布在图中距离最远的两个方格,方格甲和方格乙.
此时,由方格甲到方格乙需要走的路线是最远的,并且存在两条相等的最远路线,他们是路线1和路线2.
路线1中,“相邻方格”的数量为（18-1）+（18-1）=34个.
路线2中,“相邻方格”的数量也是34个.
如果路线1中所有相邻的方格数字之差均小于10,即最大为9,那么：路线1中,方格甲和方格乙之间的最大值为34×9=306,这与B-A≥323矛盾.所以路线1中至少有一个相邻方格所填数值之差≥10.
同理路线2中也有一个相邻方格所填数值之差≥10.
即：至少有两对相邻的小方格,每对相邻的两小方格中所填之数的差均不小于10.
②假设图中A和B不在距离最远的两个方格,那么路线1和路线2中,“相邻方格”的数量<34个,按照上面的方法同样可证明：路线1和路线2中分别至少有一个相邻方格所填数值之差≥10,
即：至少有两对相邻的小方格,每对相邻的两小方格中所填之数的差均不小于10.
至此,命题得以证明.
真难，做半天没思路，18*18每个格子都要填啊，随便什么正整数，没有范围限制的？
这是什么级别的竞赛题？初中还是高中？
留名关注！
99-06年山东省初中数学竞赛试题汇编(含答案). 百度文库中有详细解答。第20页。 1)当a和b所在的方格既不同行又不同列时，从 a所在的方格出发，可以通过一系列向相邻格(上下或左右)的移动而达到6所在的格．如图(1)所示．由于a和b既不同行又不同列，总存在两条完全不同的路线(两路线途径的方格无一相同)，由a所在的方格到达b所在的方格．显然，无论是线路甲，还是线路乙，其相邻移动的次数均不超过17...
全部展开
99-06年山东省初中数学竞赛试题汇编(含答案). 百度文库中有详细解答。第20页。 1)当a和b所在的方格既不同行又不同列时，从 a所在的方格出发，可以通过一系列向相邻格(上下或左右)的移动而达到6所在的格．如图(1)所示．由于a和b既不同行又不同列，总存在两条完全不同的路线(两路线途径的方格无一相同)，由a所在的方格到达b所在的方格．显然，无论是线路甲，还是线路乙，其相邻移动的次数均不超过17+17=34次．若在线路甲上任何相邻两方格所填之数的差均小于或等于9，则323≤b-a≤34×9=306．这与事实不符．路线乙的情况完全相同，所以，在路线甲和路线乙中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10．(2)当a和b所在的方格同行或同列时．与情况1类似，如图(2)所示，同样可以找到两条完全不同的，移动次数不大于34次的路线甲和路线乙，其中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10．（图在文库中）
收起