伽利略的推导伽利略推断初速度为零、末速度为v的匀变速运动的平均速度是v/2 ,为什么初速度为零、末速度为v的匀变速运动的平均速度是v/2 ,

伽利略的推导伽利略推断初速度为零、末速度为v的匀变速运动的平均速度是v/2 ,为什么初速度为零、末速度为v的匀变速运动的平均速度是v/2 ,
伽利略的推导
伽利略推断初速度为零、末速度为v的匀变速运动的平均速度是v/2 ,
为什么初速度为零、末速度为v的匀变速运动的平均速度是v/2 ,

伽利略的推导伽利略推断初速度为零、末速度为v的匀变速运动的平均速度是v/2 ,为什么初速度为零、末速度为v的匀变速运动的平均速度是v/2 ,
匀变速运动速度的变化是均匀的,就是说末速度和初速度的关系是线性的,表现在图像上就是一条的直线.平均速度=运动的总位移/总时间,在v-t图像上一段时间对应的位移等于图像上那一段时间和对应的速度围成的图形的面积面积,这个图形是梯形.很显然S=(V0+Vt)t/2,其中V0,Vt相当于梯形的上底和下底.那就很明显了,用那个平均速度=运动的总位移/总时间,平均速度=(V0+Vt)/2

注意！这里的平均速度，严格地讲，是速度的时间平均值
就是说，是v-t曲线的平均高度。
现代物理对于时间平均值的定义是
从t1到t2积分(vdt) = v(平均)(t2-t1)
伽利略的时代还没有微积分，所以，他们用的是经验，和面积法。
匀变速直线运动的v-t曲线是个梯形或者三角形，在三角形平行于t轴的中位线处，或者梯形的斜边中点处作平行于t轴的线，切下来的部...

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注意！这里的平均速度，严格地讲，是速度的时间平均值
就是说，是v-t曲线的平均高度。
现代物理对于时间平均值的定义是
从t1到t2积分(vdt) = v(平均)(t2-t1)
伽利略的时代还没有微积分，所以，他们用的是经验，和面积法。
匀变速直线运动的v-t曲线是个梯形或者三角形，在三角形平行于t轴的中位线处，或者梯形的斜边中点处作平行于t轴的线，切下来的部分恰好把空缺的部分补齐，使得三角形或者梯形被切补成了矩形，恰好这个矩形对应的是相通时间长度的，速度是v/2的，匀速直线运动。
或者说，速度快的时候多走的部分，恰好填补了速度慢的时候少走的部分，填补的接过就是相当于v/2速度的运动。所以v/2应当是平均值啦。
这就好比，12345这五个数的平均值，你可以说，5拿出2给1，两个都变成了3，4拿出1给2，也都变成了3，于是变成了33333，于是知道平均值是3。
我上面说的，是伽利略时代已经掌握的数学，割补法，面积法，当时的人都是懂得的。但是具体伽利略本人是怎么推的，我没见过具体的文字记载。

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(1)由于匀变速直线运动的速度是均匀变化的，故平均速度=（初速度+末速度）/2=中间时刻的瞬时速度
而匀变速直线运动的路程s=平均速度*时间，故s=[(v0+v)/2]*t
利用速度公式v=v0+at，得s=[(v0+v0+at)/2]*t=[2v0+at/2]*t=v0*t+1/2*at^2
(2)利用微积分的基本定义可知，速度函数（关于时间）是位移函数的导数...

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(1)由于匀变速直线运动的速度是均匀变化的，故平均速度=（初速度+末速度）/2=中间时刻的瞬时速度
而匀变速直线运动的路程s=平均速度*时间，故s=[(v0+v)/2]*t
利用速度公式v=v0+at，得s=[(v0+v0+at)/2]*t=[2v0+at/2]*t=v0*t+1/2*at^2
(2)利用微积分的基本定义可知，速度函数（关于时间）是位移函数的导数，而加速度函数是关于速度函数的导数，写成式子就是ds/dt=v,dv/dt=a,d^2s/dt^2=a
于是v=∫adt=at+v0,v0就是初速度，可以是任意的常数
进而有s=∫vdt=∫（at+v0）dt=1/2*at^2+v0*t+C，(对于匀变速直线运动)，显然t=0时，s=0,故这个任意常数C=0,于是有
s=1/2*at^2+v0*t
这就是位移公式。
推论 V^2－Vo^2=2aX
平均速度=（初速度+末速度）/2=中间时刻的瞬时速度
△X=aT^2（△X代表相邻相等时间段内位移差，T代表相邻相等时间段的时间长度）
X为位移。
V为末速度
Vo为初速度

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平均速度=X/t==(Vot+1/2at²)/t=Vo+1/2at=(2Vo+at)/2=(Vo+(Vo+at))/2=(Vo+Vt)/2
此处Vo=0，Vt=v，所以平均速度是v/2