已知三棱锥S-ABC的底面为正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是ASBC的重心,二面角H-AB-C的平面角等于30度,SA=2根号下3,求此三棱锥的体积
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 20:57:34
已知三棱锥S-ABC的底面为正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是ASBC的重心,二面角H-AB-C的平面角等于30度,SA=2根号下3,求此三棱锥的体积
已知三棱锥S-ABC的底面为正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是ASBC的重心,二面角H-AB-C
的平面角等于30度,SA=2根号下3,求此三棱锥的体积
已知三棱锥S-ABC的底面为正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是ASBC的重心,二面角H-AB-C的平面角等于30度,SA=2根号下3,求此三棱锥的体积
如图,AH⊥面SBC,设BH交SC于E,连接AE
∵H是△SBC的垂心
∴BE⊥SC,
∵AH⊥平面SBC,SC⊆平面SBC
∴AH⊥SC,结合BE∩AH=H
∴SC⊥平面ABE,
∵AB⊆平面ABE,
∴AB⊥SC
设S在底面ABC内的射影为O,则SO⊥平面ABC,
∵AB⊆平面ABC
∴AB⊥SO,结合SC∩SO=S
∴AB⊥平面SCO,
∵CO⊆平面SCO
∴CO⊥AB,同理BO⊥AC,
可得O是△ABC的垂心
∵△ABC是正三角形
∴S在底面△ABC的射影O是△ABC的中心
∴三棱锥S-ABC为正三棱锥.…
∴有SA=SB=SC=2√3
延长CO交AB于F,连接EF
∵CF⊥AB,CF是EF在面ABC内的射影,
∴EF⊥AB,
∴∠EFC为二面角H-AB-C的平面角,∠EFC=30°,
∵SC⊥平面ABE,EF⊆平面ABE,
∴EF⊥SC,Rt△EFC中,∠ECF=60°,
可得Rt△SOC中,OC=SCcos60°=√3 ,
SO=SCsin60°=3,
∴正三角形ABC中,AB=√ 3OC=3,
S△ABC=(√3/4)*(3^2)=(9√3) /4
∴VS-ABC=(1/3)S△ABC•SO=(9√3)/4
请指教,真心很麻烦啊呀