已知F1(－2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|－|PF2|＝2,记点P的轨迹为S,若直线l过点F2且与轨迹S交于P、Q两点.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 23:07:57
已知F1(－2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|－|PF2|＝2,记点P的轨迹为S,若直线l过点F2且与轨迹S交于P、Q两点.
已知F1(－2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|－|PF2|＝2,记点P的轨迹为S,若直线l过点F2且与轨迹S交于P、Q两点.
已知F1(－2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|－|PF2|＝2,记点P的轨迹为S,若直线l过点F2且与轨迹S交于P、Q两点.
(1)由|PF1|－|PF2|＝2＜|F1F2|知,
点P的轨迹S是以F1、F2为焦点的双曲线右支
由c＝2,2a＝2,∴b2＝3
故轨迹S的方程为x2－y23＝1(x≥1)
(2)当直线l的斜率存在时,设直线方程为y＝k(x－2),
P(x1,y1),Q(x2,y2)
与双曲线方程联立消y得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.
∴解得k2＞3
∵MP•MQ＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2)
＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋m2＋4k2
＝3－(4m＋5)k2k2－3＋m2
∵MP⊥MQ,∴MP•MQ＝0,
故得3(1－m2)＋k2(m2－4m－5)＝0对任意的k2＞3恒成立,
∴1－m2＝0,m2－4m－5＝0,解得m＝－1
当m＝－1时,MP⊥MQ,
当直线l的斜率不存在时,由P(2,3),Q(2,－3)及M(－1,0)知结论也成立.
综上,当m＝－1时,MP⊥MQ.
(3)由(1)知,存在M(－1,0)使得MP⊥MQ,
∴∠AEP＝∠MEF＝∠BQF,∴△PAE～△FBE,
|AE|•|FB|＝|AP|•|BQ|＝|PF2|e•|QF2|e＝14|PF2|•|OF2|,
|PF2|＝ex1－a＝2x1－1,|PF2|＝ex2－a＝2x2－1,
∴|AE||FB|＝14(2x1－1)(2x2－1)
＝14[4x1x2－2(x1＋x2)＋1]＝x1x2－x1＋x22＋14
当斜率不存在时|AE|•|AF|＝94,∴λ的最小值为94
此时,|PQ|＝6,|MF|＝3,S△PMQ＝12|MQ|•|PQ|＝9