a,b为实数,求a^2+b^2+(2a-3b+4)^2的最小值

a,b为实数,求a^2+b^2+(2a-3b+4)^2的最小值
a,b为实数,求a^2+b^2+(2a-3b+4)^2的最小值

a,b为实数,求a^2+b^2+(2a-3b+4)^2的最小值
哈哈高手真多,看到姚兄给出的解法,我也来凑个热闹.给出一种求法.
柯西不等式：
a1,a2,a3,b1,b2,b3为任意六个实数,
则(a1²+a2²+a3²)(b1²+b2²+b3²)≥(a1b1+a2b2+a3b3)²,
等号成立(a1,a2,a3)=t(b1,b2,b3)
证明：运用到空间坐标系和空间向量知识
可设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),因为|a|²|b|²≥|ab|²
所以(a1²+a2²+a3²)(b1²+b2²+b3²)≥(a1b1+a2b2+a3b3)².
等号成立,等价于a//b,等价于(a1,a2,a3)=t(b1,b2,b3).
在本题中：
[a²+b²+(2a-3b+4)²][(-2)²+3²+1²]≥[-2a+3b+(2a-3b+4)]²=16
所以：a^2+b^2+(2a-3b+4)^2≥8/7
等号成立：a/-2=b/3 =(2a-3b+4)/1 ,解得：a=-4/7,b=6/7
所以a^2+b^2+(2a-3b+4)^2的最小值为8/7

可以将这个式子看做是个二元函数的表达式，即令F(a，b)=a^2+b^2+(2a-3b+4)^2
根据一元函数求导求极点的思路，对这个二元函数进行求导，不过是求偏导数。
对a求偏导数得Fa=10a-12b+16（把b当作常数）
对b求偏导数得Fb=20b-12a-24（把a当作常数）
令Fa=0，Fb=0，则可以求出a=-4/7，b=6/7。因为只有一组解，所以点（...

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可以将这个式子看做是个二元函数的表达式，即令F(a，b)=a^2+b^2+(2a-3b+4)^2
根据一元函数求导求极点的思路，对这个二元函数进行求导，不过是求偏导数。
对a求偏导数得Fa=10a-12b+16（把b当作常数）
对b求偏导数得Fb=20b-12a-24（把a当作常数）
令Fa=0，Fb=0，则可以求出a=-4/7，b=6/7。因为只有一组解，所以点（-4/7，6/7）是函数F(a，b)最大值的解，因此原式的最大值是8/7。
楼上的最小值是不正确的，因为当三个平方都为0时，a，b无解，即无法三个平方都成立。当然，个人做的只是其中一种方法，就让其他高手们来帮你做出更简单的解法吧！

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a^2+b^2+(2a-3b+4)^2
=a^2+b^2+[(2a-3b+x)+(4-x)]^2
=a^2+b^2+(2a-3b+x)^2+2(4-x)(2a-3b+x)+(4-x)^2
=a^2+2(8-2x)a+b^-2(12-3x)b+(2a-3b+x)^2+16-x^2
=(a+8-2x)^2+(b-12+3x)^2+(2a-3b+x)^2-14x^2+10...

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a^2+b^2+(2a-3b+4)^2
=a^2+b^2+[(2a-3b+x)+(4-x)]^2
=a^2+b^2+(2a-3b+x)^2+2(4-x)(2a-3b+x)+(4-x)^2
=a^2+2(8-2x)a+b^-2(12-3x)b+(2a-3b+x)^2+16-x^2
=(a+8-2x)^2+(b-12+3x)^2+(2a-3b+x)^2-14x^2+104x-192
当a+8-2x=0,b-12+3x=0,2a-3b+x=0时，原式取最小值-14x^2+104x-192
解方程得x=26/7,a=-4/7,b=6/7
原式=(a+4/7)^2+(b-6/7)+(2a-3b+26/7)^2+8/7
最小值=8/7

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a^2+b^2+(2a-3b+4)^2
=5a²+10b²+16a-24b-12ab+16
=(a+8)²+(b-12)²+(2a-3b)²-192
由此可知a^2+b^2+(2a-3b+4)^2的最小值为
-192
睡了一觉醒来，意识到上面的解答有误。打开电脑，发现已由学兄“183685775”...

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a^2+b^2+(2a-3b+4)^2
=5a²+10b²+16a-24b-12ab+16
=(a+8)²+(b-12)²+(2a-3b)²-192
由此可知a^2+b^2+(2a-3b+4)^2的最小值为
-192
睡了一觉醒来，意识到上面的解答有误。打开电脑，发现已由学兄“183685775”指了出来。说得非常正确。
下面我试着给出一个新的尝试。
设b=xa,则有
a^2+b^2+(2a-3b+4)^2
=a²+x²a²+(2a-3xa+4)²
=a²+x²a²+[(2-3x)a+4)]²
=a²+x²a²+(2-3x)²a²+8(2-3x)a+16
=[x²+1+(2-3x)²]a²+8(2-3x)a+16
=(10x²-12x+5)a²+8(2-3x)a+16
=k+16
下面我们来求k的最小值。
k=(10x²-12x+5)[a²+8(2-3x)a/(10x²-12x+5)]
=(10x²-12x+5){[a+4(2-3x)/(10x²-12x+5)]²-[4(2-3x)/(10x²-12x+5)]²}
=(10x²-12x+5)[a+4(2-3x)/(10x²-12x+5)]²-(8-12x)²/(10x²-12x+5)
由于若x取定后，可取a=-4(2-3x)/(10x²-12x+5)。从而k的最小值为-(8-12x)²/(10x²-12x+5)
下面我们来求出(8-12x)²/(10x²-12x+5)的最大值。
令m=(8-12x)²/(10x²-12x+5),则有
m(10x²-12x+5)=(8-12x)²
整理得
(10m-144)x²+(192-12m)x+5m-64=0
由于上面的方程必有解，所以应有
△=(192-12m)²-4(10m-144)（5m-64）≥0
整理得
-56m²+832m≥0
即56m²-832m≤0
（56m-832)m≤0
解得
0≤m≤832/56
即（8-12x)²/(10x²-12x+5)≤832/56
从而-(8-12x)²/(10x²-12x+5)≥-832/56
从而k的最小值为-832/56
于是k+16的最小值为
16-832/56
=（896-832）/56
=64/56
=8/7
对学兄“mmclvcha”的解法，我有一个粗浅的想法。因为若前三项的和不为零是时，即x≠26/7时，我们让x取别的值，此时，虽然前三项的和大于零，变大了，但最后的项
-14x^2+104x-192的值可能会变小。所以虽然学兄“mmclvcha”的结果8/7，目前来看，显然是对的。但过程中大概还缺了一部分证明。所以，应该说“mmclvcha”的解法是不太完全的。
不知各位师兄学长能否明白我所表达的内容。
也请各位师兄学长审核我更正后的解法的正确性。虽然过程较繁，但我感觉思路还是清楚的。

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