数列 (30 20:8:43)已知函数f(x)=2^x-2^(-x),数列{An}满足f(logAn/log2)=-2n(1)求数列{An}的通项公式(2)求证:数列{An}是递减数列
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/19 19:50:47
数列 (30 20:8:43)已知函数f(x)=2^x-2^(-x),数列{An}满足f(logAn/log2)=-2n(1)求数列{An}的通项公式(2)求证:数列{An}是递减数列
数列 (30 20:8:43)
已知函数f(x)=2^x-2^(-x),数列{An}满足f(logAn/log2)=-2n
(1)求数列{An}的通项公式
(2)求证:数列{An}是递减数列
数列 (30 20:8:43)已知函数f(x)=2^x-2^(-x),数列{An}满足f(logAn/log2)=-2n(1)求数列{An}的通项公式(2)求证:数列{An}是递减数列
依题意得:
2^(logAn/log2)+2^(-logAn/log2)=-2n
由换底公式可得logAn/log2=log2(An)(2为底,An为真数)
设log2(An)=x
由对数的定义可知2^x=An
把log2(An)=x代入第一个式子中可得:
2^x+2^(-x)=-2n
又因为2^x=An
所以An+1/An=-2n
两边同时乘以An,得An^2+2nAn-1=0
由求根公式可得An=-n±√(n^2+1)
但是因为logAn有意义,所以An大于0
所以An=-n+√(n^2+1)
此为An的通项公式
(2)
由(1)知An=-n+√(n^2+1)
现构造函数f(n),使得f(n)=-n+√(n^2+1)
对f(n)求导可得f'(n)=n/(√(n^2+1))-1
因为n/(√(n^2+1))
因为f(n)的导函数始终小于0
所以f(n)在其定义域上递减
所以An是递减数列.
楼上两位可能理解错题意,导致在计算上出错.
数列An满足f(logAn/log2)=-2n =An-1/An=-2n
而且,对于对数函数的定义域大于0,则有An>0
解出 An=An=(n^2+1)^(1/2)-n =1/[(n^2+1)^(1/2)+n]
An是单调递减收敛数列,收敛于 0
logAn/log2=log2(An)(2为底,An的对数)
2^[log2(An)]=An
所以An-1/An=-2n
又An>0
所以An=(n^2+1)^(1/2)-n
分子有理化
An=1/[(n^2+1)^(1/2)+n]
单调减