求数列1/2,2/4,3/8,……n/2ⁿ,……的前n项和

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 15:09:59
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Sn=1/2+2/2^2+...+n/2^n
Sn/2=1/2^2+2/2^3+...+(n-1)/2^n+n/2^(n+1)
Sn-Sn/2=Sn/2=1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n-n/2^(n+1)
=(1/2)[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-n/2^(n+1)
=1-(1/2)^n-n/2^(n+1)
Sn=2-2(1/2)^n-n/2^n
=2-(n+2)/2^n

设Sn=1/2+2/4+3/8+...+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n
2Sn=1+2/2+3/4+...+n/2^(n-1)
2Sn-Sn=1+1/2+1/4+...+1/2^(n-1)-n/2^n
Sn=[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-n/2^n
=2-1/2^(n-1)-n/2^n