如图 四棱锥P-ABCD中 PA⊥平面ABCD 底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,AB=AD=AP E为PC中点 求二面角E-BD-C的余弦值
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/22 15:12:23
如图 四棱锥P-ABCD中 PA⊥平面ABCD 底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,AB=AD=AP E为PC中点 求二面角E-BD-C的余弦值
如图 四棱锥P-ABCD中 PA⊥平面ABCD 底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,AB=AD=AP E为PC中点 求二面角E-BD-C的余弦值
如图 四棱锥P-ABCD中 PA⊥平面ABCD 底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,AB=AD=AP E为PC中点 求二面角E-BD-C的余弦值
1)以A为原点,建立如图所示空间直角坐标系,求出
PC
与
BD
的坐标,利用它们的数量积为零证得BD⊥OC;
(2)易证
BD
为面PAC的法向量,求出面PBC的法向量
n
,然后求出两法向量的夹角,利用两平面的法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补,即可求得二面角B-PC-A的余弦值.
证明:(Ⅰ)以A为原点,建立如图所示空间直角坐标系,
则B(0,1,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),P(0,0,4),
∴PC=(-2,4,-4),BD=(-2,-1,0),
∴PC•BD=0
所以PC⊥BD.
(Ⅱ)易证BD为面PAC的法向量,
设面PBC的法向量n=(a,b,c),
PB=(0,1,-4),BC=(-2,3,0)
所以n•PB=0n•BC=0⇒b=4ca=6c
所以面PBC的法向量n=(6,4,1),
∴cosθ=-16265.
因为面PAC和面PBC所成的角为锐角,
所以二面角B-PC-A的余弦值为16265.
点评:本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
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