如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,M为AB的中点,求证:平面PMC⊥平面PCD.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/22 20:55:11
如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,M为AB的中点,求证:平面PMC⊥平面PCD.
如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,M为AB的中点,求证:平面PMC⊥平面PCD.
如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,M为AB的中点,求证:平面PMC⊥平面PCD.
取PD、PC中点E、F,连AE、EF、FM
则EFG为△PCD的中位线
∴EF∥CD∥AB,即EF∥AM
EF=CD/2=AB/2=AM
∴AEFM是平行四边形
∴AE∥MF
∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥CD
∵ABCD是矩形
∴CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE
∵PA=AD,PE=DE
∴AE⊥PD
∴AE⊥平面PCD
又AE∥MF
∴MF⊥平面PCD
∴平面PMC⊥平面PCD
(省略了少量步骤,请LZ完善)
取PC的中点为F。
∵ABCD是矩形,∴AD=CB、∠CBM=90°。
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AM,∴∠PAM=∠CBM=90°。
∵PA=AD、AD=CB,∴PA=CB,又AM=BM、∠PAM=∠CBM,∴△PAM≌△CBM,
∴PM=CM,而F∈PC且PF=CF,∴MF⊥PC。
∵E、F分别是PD、PC的中点,∴EF是△PCD的中位线,∴EF=D...
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取PC的中点为F。
∵ABCD是矩形,∴AD=CB、∠CBM=90°。
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AM,∴∠PAM=∠CBM=90°。
∵PA=AD、AD=CB,∴PA=CB,又AM=BM、∠PAM=∠CBM,∴△PAM≌△CBM,
∴PM=CM,而F∈PC且PF=CF,∴MF⊥PC。
∵E、F分别是PD、PC的中点,∴EF是△PCD的中位线,∴EF=DC/2、EF∥DC。
∵ABCD是矩形,∴AM∥DC、AB=DC。
∵AM=AB/2、EF=DC/2、AB=DC,∴AM=EF。
∵AM∥DC、EF∥DC,∴AM∥EF,又AM=EF,∴AMFE是平行四边形,∴AE∥ME。
∵PA=AD、E∈PD且PE=DE,∴AE⊥PD,又AE∥ME,∴ME⊥PD。
由MD⊥PC、ME⊥PD、PC∩PD=P,得:ME⊥平面PCD,而ME在平面PEC上,
∴平面PEC⊥平面PCD。
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