如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,M为AB的中点,求证：平面PMC⊥平面PCD.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/30 06:51:39
如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,M为AB的中点,求证：平面PMC⊥平面PCD.
如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,M为AB的中点,求证：平面PMC⊥平面PCD.
如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,M为AB的中点,求证：平面PMC⊥平面PCD.
取PD、PC中点E、F,连AE、EF、FM
则EFG为△PCD的中位线
∴EF∥CD∥AB,即EF∥AM
EF=CD/2=AB/2=AM
∴AEFM是平行四边形
∴AE∥MF
∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥CD
∵ABCD是矩形
∴CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE
∵PA=AD,PE=DE
∴AE⊥PD
∴AE⊥平面PCD
又AE∥MF
∴MF⊥平面PCD
∴平面PMC⊥平面PCD
（省略了少量步骤,请LZ完善）
取PC的中点为F。
∵ABCD是矩形，∴AD＝CB、∠CBM＝90°。
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AM，∴∠PAM＝∠CBM＝90°。
∵PA＝AD、AD＝CB，∴PA＝CB，又AM＝BM、∠PAM＝∠CBM，∴△PAM≌△CBM，
∴PM＝CM，而F∈PC且PF＝CF，∴MF⊥PC。
∵E、F分别是PD、PC的中点，∴EF是△PCD的中位线，∴EF＝D...
全部展开
取PC的中点为F。
∵ABCD是矩形，∴AD＝CB、∠CBM＝90°。
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AM，∴∠PAM＝∠CBM＝90°。
∵PA＝AD、AD＝CB，∴PA＝CB，又AM＝BM、∠PAM＝∠CBM，∴△PAM≌△CBM，
∴PM＝CM，而F∈PC且PF＝CF，∴MF⊥PC。
∵E、F分别是PD、PC的中点，∴EF是△PCD的中位线，∴EF＝DC/2、EF∥DC。
∵ABCD是矩形，∴AM∥DC、AB＝DC。
∵AM＝AB/2、EF＝DC/2、AB＝DC，∴AM＝EF。
∵AM∥DC、EF∥DC，∴AM∥EF，又AM＝EF，∴AMFE是平行四边形，∴AE∥ME。
∵PA＝AD、E∈PD且PE＝DE，∴AE⊥PD，又AE∥ME，∴ME⊥PD。
由MD⊥PC、ME⊥PD、PC∩PD＝P，得：ME⊥平面PCD，而ME在平面PEC上，
∴平面PEC⊥平面PCD。
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