双曲线和圆如果有一个酒杯,它的杯身是双曲线形的,y^2/a^2 - x^2/b^2= 1,(y>0).也就是双曲线在x轴上半部分.现在有一个球放进杯底,求这个球的半径不能超过多少.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/21 08:32:18
双曲线和圆如果有一个酒杯,它的杯身是双曲线形的,y^2/a^2 - x^2/b^2= 1,(y>0).也就是双曲线在x轴上半部分.现在有一个球放进杯底,求这个球的半径不能超过多少.
双曲线和圆
如果有一个酒杯,它的杯身是双曲线形的,y^2/a^2 - x^2/b^2= 1,(y>0).也就是双曲线在x轴上半部分.现在有一个球放进杯底,求这个球的半径不能超过多少.
双曲线和圆如果有一个酒杯,它的杯身是双曲线形的,y^2/a^2 - x^2/b^2= 1,(y>0).也就是双曲线在x轴上半部分.现在有一个球放进杯底,求这个球的半径不能超过多少.
答：
由于球能放进杯底,设球的半径为r,则
球心坐标为（0,a+r)
设双曲线上任意一点坐标为(asecθ,btanθ),θ∈[0,π/2)
由题意球心到双曲线上的人一点的距离都大于等于半径,
(asecθ)^2+(btanθ-a-r)^2≥r^2
(asecθ)^2+(btanθ-a)^2≥2r(btanθ-a)
所以当btanθ-a≤0,不等式恒成立,任何球都能放入酒杯.
当tanθ>a/b,
r≤[(asecθ)^2+(btanθ-a)^2]/[2(btanθ-a)]
={a^2[(tanθ)^2+1]+(btanθ-a)^2}/[2(btanθ-a)]
设y={a^2[(tanθ)^+1]+(btanθ-a)^2}/[2(btanθ-a]
令m=btanθ-a>0,
y={a^2[(m+a)^2/b^2+1]+m^2}/(2m)
=(b^2+a^2)/(2b^2)*m+[a^2(a^2+b^2)]/(2b^2)*(1/m)+a^3/b^2
y'=(a^2+b^2)/(2b^2)-a^2(a^2+b^2)/(2b^2)*(1/m^2)
令y'=0,则y在m=a时取到极小值
y=a+2a^3/b^2
由此知这个球的半径不能超过(a+2a^3/b^2).