高中几何体一道在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=2分之√2AD,若E,F分别为PC,BD的中点(1)求证：EF‖平面PAD(2)求证：EF⊥平面PDC

高中几何体一道在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=2分之√2AD,若E,F分别为PC,BD的中点(1)求证：EF‖平面PAD(2)求证：EF⊥平面PDC
高中几何体一道
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=2分之√2AD,若E,F分别为PC,BD的中点
(1)求证：EF‖平面PAD
(2)求证：EF⊥平面PDC

高中几何体一道在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=2分之√2AD,若E,F分别为PC,BD的中点(1)求证：EF‖平面PAD(2)求证：EF⊥平面PDC
（1）
连接AC
因为底面ABCD是正方形 ,F为,BD的中点
所以F 为AC中点
又因为E为PC的中点
所以EF为三角形APC中位线
所以 EF‖PA
又因EF不属于平面PAD
所以 EF‖平面PAD
（2）
取PD中点H,
取AD中点G
连接HG
因为PD中点H,AD中点G ,E,F分别为PC,BD的中点
所以HE//DC,GF//AB//DC,HE=1/2DC,GF=1/2DC
所以HE//GF,HE=GF,HGFE为平行四边形
所以EF//HG
因为PD中点H,AD中点G
所以HD=1/2PD=√2/4AD
GD=1/2AD
GH为三角形PAD中位线,GH=1/2PA=√2/4AD
因为 GH^2+HD^2=GD^2
所以 角GHD=90度
GH⊥HD,GH⊥PD
所以EF⊥PD
因为 底面ABCD是正方形,
所以DC⊥AD
因为侧面PAD⊥底面ABCD
所以DC⊥侧面PAD
因为EF//侧面PAD
所以EF⊥DC
因为DC交PD＝D
所以EF⊥平面PDC
详细不……

(1)证明:连结AC,因为F是一条对角线BD的中点,则F必定为正方形ABCD的另一条对角线AC的中点,又因为E为PC的中点,所以EF‖PA,直线PA为平面PAD上的一条直线,且EF不在平面PAD上,所以EF‖平面PAD
(2)证明:在正方形ABCD中DC⊥AD,又AD为面ABCD与面PAD的交线,所以DC⊥面PAD,既而DC⊥PA,因为PA=PD=2分之√2AD,所以△PAD为等腰Rt△P...

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(1)证明:连结AC,因为F是一条对角线BD的中点,则F必定为正方形ABCD的另一条对角线AC的中点,又因为E为PC的中点,所以EF‖PA,直线PA为平面PAD上的一条直线,且EF不在平面PAD上,所以EF‖平面PAD
(2)证明:在正方形ABCD中DC⊥AD,又AD为面ABCD与面PAD的交线,所以DC⊥面PAD,既而DC⊥PA,因为PA=PD=2分之√2AD,所以△PAD为等腰Rt△PAD,角APD=90度,所以PA⊥PD,又因为PD与CD在面PDC内相交,所以PD⊥平面PDC,又EF‖PA,所以EF⊥面PDC

收起

（1）∵ ABCD是正方形，F为BD中点
∴连AC交BD于F 且 F为AC中点
又 E为PC中点（已知）
∴在△APC中得 EF∥AP EF不再平面PAD内
∴EF‖平面PAD
（2）取Q为DC中点 M为AD的中点 连FQ、EQ、PM、CM
∵侧面PAD⊥底面ABCD PA=PD2*AD M为中点
∴PM⊥MC
在直角△...

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（1）∵ ABCD是正方形，F为BD中点
∴连AC交BD于F 且 F为AC中点
又 E为PC中点（已知）
∴在△APC中得 EF∥AP EF不再平面PAD内
∴EF‖平面PAD
（2）取Q为DC中点 M为AD的中点 连FQ、EQ、PM、CM
∵侧面PAD⊥底面ABCD PA=PD2*AD M为中点
∴PM⊥MC
在直角△PMC中易求得：PC=√3/2*AD PA=√2/2*AD AC=√2*AD
∴PC²+PA²=AC² ∴PA⊥PC 而 E、F分别为中点
∴FE⊥EC
又E、F、Q分别为中点得：
EF=1/2*AP=√2/4*AD EQ=1/2*PD=√2/4*AD FQ=1/2*AD
得：EF²+EQ²=FQ²
∴ EF⊥EQ
∴EF⊥平面PDC

收起

这个用空间坐标系就可以解决了！很简单的了！用向量法！更本不怎么想就可以做出来！

PA=PD
所以三角形PAD为等边三角形
取AD中点O
连接PO
可证明PO垂直底面
然后就直接建系
用坐标算